Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 11-10-2015 - 11:01
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{c^{2}}{b+c}$
Bắt đầu bởi OiDzOiOi, 11-10-2015 - 10:38
#2
Đã gửi 11-10-2015 - 10:47
Longtunhientoan2k
-
- Thành viên
-
- 272 Bài viết
Thượng sĩ
Giả sử a=max{a,b,c}.Chuyển vế rồi xét dấu là ra mà em.
LONG VMF NQ MSP
#3
Đã gửi 11-10-2015 - 10:49
OiDzOiOi
-
- Thành viên
-
- 114 Bài viết
Trung sĩ
anh giải dùm em luôn đi
What is .......>_<.....
#4
Đã gửi 11-10-2015 - 10:56
Longtunhientoan2k
-
- Thành viên
-
- 272 Bài viết
Thượng sĩ
Giả sử a=max{a,b,c}.Ta có:
$ BĐT\Leftrightarrow \frac{a^{2}(a-b)}{(b+c)(a+c)}+\frac{b^{2}(b-c)}{(a+c)(a+b)}+\frac{c^{2}(c-a)}{(a+b)(b+c)}$
thế a-c=a-b+b-c vào là xong.Chú ý giả sử:a=max{a,b,c}
- Nguyen Van Luc, vumin và When thích
LONG VMF NQ MSP
#6
Đã gửi 14-04-2021 - 17:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta dễ có: $\sum_{cyc}\frac{b^2}{b+c}=\sum_{cyc}\frac{c^2}{b+c}$
Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{2a^2}{b+c}+\frac{2b^2}{c+a}+\frac{2c^2}{a+b}\geqslant \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a-b)+(a+c)(a-c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b-c)+(b+a)(b-a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c-a)+(c-b)(c+b)}{a+b}\geqslant 0\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a+b)(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
