Chủ đề này có 1 trả lời

[RoyalMadrid]

Giải hệ: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}(1+\frac{3}{x+y})=\frac{16}{5} & \\ \sqrt{y}(1-\frac{3}{x+y})=\frac{2}{5}& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 15-10-2015 - 21:39

[Vito Khang Scaletta]

Giải hệ: 
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}(1+\frac{3}{x+y})=\frac{16}{5};(1) & \\ \sqrt{y}(1-\frac{3}{x+y})=\frac{2}{5};(2)& \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x;y\geq 0 \\ x\neq -y \end{matrix}\right.$
Nhận thấy rằng $(x;y)=(0;0)$ không là nghiệm của hệ nên ta chia $(1)$ cho $\sqrt{x}$ và $(2)$ cho $\sqrt{y}$, hệ phương trình trở thành 
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{3}{x+y}=\frac{16}{5\sqrt{x}};(3) \\ 1-\frac{3}{x+y}=\frac{2}{5\sqrt{y}};(4) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3)+(4)\Leftrightarrow \frac{8}{5\sqrt{x}}+\frac{1}{5\sqrt{y}}=1;(5) \\ (3)-(4)\Leftrightarrow \frac{8}{5\sqrt{x}}-\frac{1}{5\sqrt{y}}=\frac{3}{x+y};(6) \end{matrix}\right.$ 
$\Rightarrow (5).(6)=(\frac{8}{5\sqrt{x}}+\frac{1}{5\sqrt{y}})(\frac{8}{5\sqrt{x}}-\frac{1}{5\sqrt{y}})=\frac{3}{x+y}$
$\Leftrightarrow \frac{64}{25x}-\frac{1}{25y}=\frac{3}{x+y}$ $\Leftrightarrow 64y(x+y)-x(x+y)=75xy$
$\Leftrightarrow x^{2}+12xy-64y^{2}=0$ $(7)$
Chia $(7)$ cho $y^{2}$ và đặt $t=\frac{x}{y}$, ta được phương trình $\Rightarrow t^{2}+12t-64=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=4 \\ t=-16 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4y \\ x=-16y \end{bmatrix}$
Ta loại $x=-16y$ vì điều kiện đề bài yêu cầu cả $x;y\geq 0$ và ta đã nhận xét được $x;y\neq 0$.

Thay $x=4y$ vào $(1)$, ta được $(1)\Rightarrow 2\sqrt{y}(1+\frac{3}{5y})=\frac{16}{5}\Leftrightarrow \sqrt{y}+\frac{3}{5\sqrt{y}}=\frac{8}{5}$ $\Leftrightarrow 5y-8\sqrt{y}+3=0$

Đặt $a=\sqrt{y}\geq 0$, ta được phương trình $5a^{2}-8a+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1 \\ a=\frac{3}{5} \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} y=1\Rightarrow x=4 \\ y=\frac{9}{25}\Rightarrow x=\frac{36}{25} \end{bmatrix}$

Vậy ta kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm $(x;y)=(4;1)$ hay $(x;y)=(\frac{36}{25};\frac{9}{25})$.