Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$. CMR $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
studentlovemath

studentlovemath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$. CMR $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 21:54

Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình

 


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$. CMR $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Hình như thiếu thiếu điều kiện abc=1 rồi thì phải:

Nếu đúng thì như sau 
Áp dụng bđt Swarchz ta có:
Ta có $VT=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)} \geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh