Chủ đề này có 1 trả lời

[cocbrovn]

cho A là ma trận vuống cấp n>=2:

nếu A= 0 thì có 1 vecto dòng của a là tổ hợp tuyến tính của các vecto dong con lai là đúng hay sai j

[WhjteShadow]

cho A là ma trận vuống cấp n>=2:

nếu A= 0 thì có 1 vecto dòng của a là tổ hợp tuyến tính của các vecto dong con lai là đúng hay sai j

Có cách trực tiếp nhưng hơi khó gõ, thôi mình làm quy nạp như sau với để ý rằng 1 dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại tương đương với tất cả các dòng là phụ thuộc tuyến tính :

Với $n=2$ thì dễ dàng kiểm tra mệnh đề đúng, giả sử mệnh đề đúng đến $n$, xét 1 ma trận $(n+1)$ x $(n+1)$ : $(a_{ij})_{(n+1) x (n+1)}$, nếu $a_{i1}=0\forall i$ thì hiển nhiên các hàng là phụ thuộc tuyến tính do lúc này khi xét các hàng giống như mình xét $n+1$ vector trên trường $\mathbb{R}^{n}$ vậy.

Còn nếu tồn tại $a_{i1}\neq 0$, hoán vị hàng đó với hàng đầu tiên và đánh số lại ma trận như ban đầu để $a_{11}\neq 0$. Trừ hàng $i$ đi $\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ lần hàng 1 thì ta có 1 ma trận mới với cột 1 chỉ có duy nhất $a_{11}$ là khác 0. Áp dụng khai triển Laplace với cột 1, đưa về ma trận $n$ x $n$ có định thức bằng 0, áp dụng giả thiết quy nạp, hệ $n$ vector dòng của nó phụ thuộc tuyến tính. Vậy suy ra $n$ dòng cuối của ma trận ban đầu cũng phụ thuộc tuyến tính, dẫn đến hệ $n+1$ dòng là phụ thuộc tuyến tính. Từ đây suy ra ma trận ban đầu có các dòng phụ thuộc tuyến tính không có gì khó (thực ra nếu ra biến đổi thêm bớt 1 dòng bất kì vào 1 tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại không làm thay đổi tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính).