2 replies to this topic

[Giang Giang]

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u₁ ,u₂ ,...,u_n là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v₁ = a₁₁u₁ ,

v₂ = a₂₁u₁ + a₂₂u₂,

v₃ = a₃₁u₁ + a₃₂u₂ + a₃₃u₃,

. . .

v_n = a_n1u₁ + a_n2u₂ + . . . a_nnu_n

là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a₁₁a₂₂...a_nn  khác 0

 

[winds]

 

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u₁ ,u₂ ,...,u_n là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v₁ = a₁₁u₁ ,

v₂ = a₂₁u₁ + a₂₂u₂,

v₃ = a₃₁u₁ + a₃₂u₂ + a₃₃u₃,

. . .

v_n = a_n1u₁ + a_n2u₂ + . . . a_nnu_n

là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a₁₁a₂₂...a_nn  khác 0

 

cho  a_11...a_nn khác 0. Nếu c₁v₁ + ... +c_nv_n =0 , thì thay v₁ , ...,v_n qua u₁ ,..., u_n, rồi nhóm hệ số theo các vecto u_{1 ,..,}  u_{n .}Xét hệ số của u_n ta suy ra c_n = 0 .Tương tự , cứ xét ngược trở lại, ta có c_n-1 =0,...,c₁ = 0.

  Nếu  a_11...a_{nn = 0} , thì chọn i bé nhất để aii = 0.Khi đó u₁ biểu diễn tuyến tính qua v₁ ,... Cứ thế ta có u_i-1 biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 . Sử dụng hệ thức thứ i , ta suy ra v_i biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 .Do đó hệ  v₁ , ...,v_n phụ thuộc tuyến tính .

[vo van duc]

Ta chứng minh hai ý sau:
(1) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ độc lập tuyến tính.

Giả sử với $\lambda _1,\lambda _2,\ldots , \lambda _n\in \mathbb{R}$ ta có quan hệ tuyến tính
$$\begin{matrix} & \lambda _1v_1+\lambda _2v_2+\cdots +\lambda _nv_n=0 \\ \Leftrightarrow & \lambda _1a_{11}u_1+\lambda _2(a_{21}u_1+a_{22}u_2)+\cdots +\lambda _n(a_{n1}u_1+\cdots +a_{nn}u_n)=0 \\ \Leftrightarrow & (\lambda _1a_{11}+\cdots+\lambda _na_{n1})u_1+(\lambda _2a_{22}+\cdots +\lambda _na_{n2})u_2 +\cdots +\lambda _na_{nn}u_n=0 \end{matrix}$$ Ta có hệ các véc tơ $u_1,u_2,\ldots ,u_n$ độc lập tuyến tính, suy ra $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}\lambda _1 & + & a_{21}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n1}\lambda _n & = & 0 \\ & & a_{22}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n2}\lambda _n & = & 0 \\ & & & & \ddots & & \vdots & & \\ & & & & & & a_{nn}\lambda _n & = & 0 \end{matrix} \right.$$ Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ phương trình có định thức khác không nên có nghiệm tầm thường $\lambda _1= \lambda _2=\cdots =\lambda _n=0$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ độc lập tuyến tính.

(2) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất một số $a_{ii}=0$. Giả sử $i$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_{ii}=0,1\leq i\leq n$. Khi đó

$u_1$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1$
$u_2$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2$
$\ldots $
$u_{i-1}$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2,\ldots, v_{i-1}$

Vì $a_{ii}=0$ nên từ phương trình thứ $i$ của hệ điều kiện trong giả thiết ta có $$v_i= a_{i1}u_1+a_{i2}u_2+\cdots +a_{i,i-1}u_{i-1}\quad (*)$$
Thay các biểu thị tuyến tính trên vào $(*)$ ta có một biểu thị tuyến tính của $v_i$ theo các véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i-1}$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i}$ phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính nên phụ thuộc tuyến tính.

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Edited by vo van duc, 11-11-2015 - 04:44.