Đề Thi VMEO IV Tháng 11
CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài 1.1:
Cho đường thẳng $(d): y=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
- Chứng minh rằng mọi đường tròn có tâm $I$ thuộc $(d)$ và bán kính $\dfrac{1}{8}$ đều không chứa bất cứ điểm nguyên nào.
- Tìm số dương $k$ lớn nhất sao cho khoảng cách từ mọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng $d$ đều không nhỏ hơn $k$.
Bài 1.2:
Cho tam giác $BAC$ cân tại $A$ có $\angle BAC=20^o$. Dựng tam giác đều $BDC$ sao cho $D,A$ cùng phía so với $BC$. Dựng tam giác $DEB$ cân tại $D$ có $\angle EDB=80^o$ và $C, E$ khác phía so với $DB$. Chứng minh tam giác $AEC$ cân tại $E$.
Bài 1.3:
Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ bé hơn $2015$ mà chia hết cho $\left\lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$ ?
Ở đây $\left \lfloor a \right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a (a \in \mathbb{R})$.
Bài 1.4:
Các bạn học sinh trong trường xếp các hàng dọc sao cho đếm từ trái sang, hàng thứ nhất có $n$ bạn, hàng thứ 2 có $n-1$ bạn, ... cho đến hàng thứ $n$ có $1$ bạn. Các bạn đều quay mặt về phía hàng thứ nhất. Ví dụ với $n=5$ (mỗi dấu * đại diện cho một bạn):
*
* *
* * *
* * * *
* * * * * (hàng thứ nhất)
Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đề trong hai mệnh đề dưới đây để phát biểu (trừ các bạn đứng đầu hàng).
- Mệnh đề 1. "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối."
- Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói thật."
Với $n=2015$, hãy tìm số người nói thật nhiều nhất có thể.
Chú thích: Nếu một bạn học sinh nói dối thì bạn ấy sẽ nói ngược sự thật. Còn một bạn học sinh nói thật thì bạn ấy sẽ nói đúng sự thật.
Hết đề cấp THCS
CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Bài 2.1:
Với $k \geqslant 0$ cho trước và $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương sao cho \[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = (k+1)^2 + \frac{2}{k+1}\]
Chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2 \leqslant (k^2+1)(ab+bc+ca)\]
Bài 2.2:
Cho tam giác $ABC$ với hai điểm $P,Q$ đẳng giác. Gọi $D,E$ là hình chiếu của $P$ lên $AB,AC$. $G$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC$. $U$ là hình chiếu của $G$ lên $DE$, $L$ là hình chiếu của $P$ lên $AQ$, $K$ là đối xứng của $L$ qua $UG$.
Chứng minh $UK$ đi qua điểm cố định khi $P, Q$ thay đổi.
Bài 2.3:
Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $$a^2+b \mid b^2+c, b^2+c \mid c^2+a$$ và tất cả các ước nguyên tố của $a^2+b$ không đồng dư với $1$ modulo $7$.
Hết đề cấp THPT
Hạn gửi bài: từ ngày 01/11 cho đến 20/12.
Đề thi tháng 10 vẫn chưa hết hạn (cho đến 20/11) nên các bạn vẫn có thể gửi bài giải qua nick vmeovmf trên diễn đàn hoặc qua email [email protected].
Giải thưởng cho cuộc thi sẽ là giấy chứng nhận, sách toán/tiền mặt.
File gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-11-2015 - 19:57