Đến nội dung

Hình ảnh

Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.

- - - - - imo shortlist imo 2009

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

[IMO Shortlist 2009] Cho $a,b$ là hai số nguyên dương thoả mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

[IMO Shortlist 2009] Cho $a,b$ là hai số nguyên dương thoả mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.

ta sử dụng bổ đề sau

Với $m$ không phải là số chính phương thì tồn tại vô số $p\in \mathbb{P}$ sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=-1$

Spoiler

áp dụng bổ đề cho $ab$ ta có $\left ( \frac{ab}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=-1$

WLOG $\left ( \frac{a}{p} \right )=1,\left ( \frac{b}{p} \right )=-1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)\\ b^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow p\not | b^{\frac{p-1}{2}}-1$

$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ

$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ

$\Rightarrow \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương

$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ chẵn

$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )= v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )+1$ lẻ

$\Rightarrow \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

thay đổi anh ơi, loại bỏ điều kiện $ab$ thì bài toán vẫn chuẩn, chỉ là khó hơn rất nhiều



#4
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

ta sử dụng bổ đề sau

Với $m$ không phải là số chính phương thì tồn tại vô số $p\in \mathbb{P}$ sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=-1$

Spoiler

áp dụng bổ đề cho $ab$ ta có $\left ( \frac{ab}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=-1$

WLOG $\left ( \frac{a}{p} \right )=1,\left ( \frac{b}{p} \right )=-1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)\\ b^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow p\not | b^{\frac{p-1}{2}}-1$

$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ

$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ

$\Rightarrow \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương

$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ chẵn

$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )= v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )+1$ lẻ

$\Rightarrow \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương

Cho mình hỏi: -Kí hiệu $\left ( \frac{m}{n} \right )$ là gì  vậy bạn?

                       -WLOG nghĩa là gì?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 19-06-2017 - 14:35

$\mathbb{VTL}$


#5
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

$(\frac{m}{n})$ là kí hiệu legende nếu $n$ là số nguyên tố và là kí hiệu Jacobi nếu $n$ là số bất kì,

WLOG là không mất tính tổng quát







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo shortlist, imo, 2009

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh