[IMO Shortlist 2009] Cho $a,b$ là hai số nguyên dương thoả mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.
Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.
#1
Đã gửi 01-11-2015 - 19:16
- canhhoang30011999, nhungvienkimcuong và Drago thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 01-11-2015 - 20:17
[IMO Shortlist 2009] Cho $a,b$ là hai số nguyên dương thoả mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $(a^n-1)(b^n-1)$ không là số chính phương.
ta sử dụng bổ đề sau
Với $m$ không phải là số chính phương thì tồn tại vô số $p\in \mathbb{P}$ sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=-1$
áp dụng bổ đề cho $ab$ ta có $\left ( \frac{ab}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=-1$
WLOG $\left ( \frac{a}{p} \right )=1,\left ( \frac{b}{p} \right )=-1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)\\ b^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow p\not | b^{\frac{p-1}{2}}-1$
$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ
$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ
$\Rightarrow \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương
$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ chẵn
$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )= v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )+1$ lẻ
$\Rightarrow \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương
- Zaraki, canhhoang30011999, Belphegor Varia và 3 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#4
Đã gửi 19-06-2017 - 14:27
ta sử dụng bổ đề sau
Với $m$ không phải là số chính phương thì tồn tại vô số $p\in \mathbb{P}$ sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=-1$
Spoileráp dụng bổ đề cho $ab$ ta có $\left ( \frac{ab}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=-1$
WLOG $\left ( \frac{a}{p} \right )=1,\left ( \frac{b}{p} \right )=-1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)\\ b^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow p\not | b^{\frac{p-1}{2}}-1$
$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ
$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ lẻ
$\Rightarrow \left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương
$\bullet$ nếu $v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ chẵn
$\Rightarrow v_p\left ( \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right ) \right )=v_p \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )= v_p\left ( a^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )+1$ lẻ
$\Rightarrow \left ( a^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( b^{p.\frac{p-1}{2}}-1 \right )$ không là số chính phương
Cho mình hỏi: -Kí hiệu $\left ( \frac{m}{n} \right )$ là gì vậy bạn?
-WLOG nghĩa là gì?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 19-06-2017 - 14:35
$\mathbb{VTL}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo shortlist, imo, 2009
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh