CMR $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$
#1
Đã gửi 04-11-2015 - 00:19
#2
Đã gửi 13-11-2015 - 07:55
CMR với mọi $n$ thuộc $Z$ thì $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$
Sửa lại điều kiện một chút: CMR với mọi n thuộc N
CM bằng quy nạp
Với n=0.Ta có
$A_{(0)}=x^{2}-x+1\vdots x^{2}-x+1$ đúng
Giả sử khẳng định đúng đến n=k. Tức là
$A_{k}=(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}\vdots x^{2}-x+1$
Ta cần CM khẳng định đúng với n=k+1. Tức là
$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+1+2}+x^{2(k+1)+1}\vdots x^{2}-x+1$
Thật vậy dễ dàng biến đổi
$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+2}(x-1)+x^{2k+1}x^{2}=(x-1)[(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}]+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)=(x-1)A_{(k)}+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)\vdots x^{2}-x+1$,theo giả thiết quy nạp hiễn nhiên
Vậy $A_{(n)}\vdots x^{2}-x+1$ $\forall n\in N$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QDV: 13-11-2015 - 08:00
- tpdtthltvp và Watson1504 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh