Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Watson1504

Watson1504

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
CMR với mọi $n$ thuộc $Z$ thì $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$

#2
QDV

QDV

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

CMR với mọi $n$ thuộc $Z$ thì $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$

Sửa lại điều kiện một chút: CMR với mọi n thuộc N

CM bằng quy nạp

Với n=0.Ta có

$A_{(0)}=x^{2}-x+1\vdots x^{2}-x+1$ đúng

Giả sử khẳng định đúng đến n=k. Tức là

$A_{k}=(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}\vdots x^{2}-x+1$

Ta cần CM khẳng định đúng với n=k+1. Tức là

$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+1+2}+x^{2(k+1)+1}\vdots x^{2}-x+1$

Thật vậy dễ dàng biến đổi

$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+2}(x-1)+x^{2k+1}x^{2}=(x-1)[(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}]+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)=(x-1)A_{(k)}+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)\vdots x^{2}-x+1$,theo giả thiết quy nạp hiễn nhiên

Vậy $A_{(n)}\vdots x^{2}-x+1$ $\forall n\in N$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QDV: 13-11-2015 - 08:00





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh