Chủ đề này có 2 trả lời

[santo3vong]

Cho các số thực $x,y,z$ lớn hơn 1 thoả: $x+y+z=xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{x-2}{{{z}^{2}}}+\frac{y-2}{{{x}^{2}}}+\frac{z-2}{{{y}^{2}}}$  

[royal1534]

Cho các số thực $x,y,z$ lớn hơn 1 thoả: $x+y+z=xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{x-2}{{{z}^{2}}}+\frac{y-2}{{{x}^{2}}}+\frac{z-2}{{{y}^{2}}}$  

Tham khảo bài tương tự ở đây

[KietLW9]

Cho các số thực $x,y,z$ lớn hơn 1 thoả: $x+y+z=xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{x-2}{{{z}^{2}}}+\frac{y-2}{{{x}^{2}}}+\frac{z-2}{{{y}^{2}}}$  

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$