Bài toán 1: Có 10 HS khối 10, 11 HS khối 11, 12 HS khối 12. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho có mặt cả học sinh của 3 khối.
Nếu giải bài toán như sau:
+ Chọn ra mỗi khối 1 học sinh bất kỳ: Có 10.11.12 cách.
+ Chọn 3 học sinh còn lại tùy ý trong số 30 học sinh còn lại có $C_30^3$ cách.
Vậy có $10.11.12.C_30^10$ cách.
Cách giải này có sự trùng lặp ở đâu?
Tính như thế này sẽ bị trùng, nên sử dụng nguyên lý bù trừ để giải như sau:
Gọi:
$S$ là tập các cách chọn 6 hs tùy ý.
$Y$ là tập các cách chọn thỏa yêu cầu đề bài.
$N_{i}$ với $i=10,11,12$ là tập các cách chọn lần lượt không có hs khối 10, 11, 12.
Như vậy ta có:
$\left | Y \right |=\left | S \right |-\left | N_{10}\cup N_{11}\cup N_{12} \right |$
Với:
$\left | N_{10}\cup N_{11}\cup N_{12} \right |=\left | N_{10} \right |+\left | N_{11} \right |+\left | N_{12} \right |-\left ( \left | N_{10}\cap N_{11} \right |+ | N_{10}\cap N_{12} \right |+ \left| N_{11}\cap N_{12} \right |)+\left | N_{10}\cap N_{11}\cap N_{12} \right |$
Trong đó:
$\left | S \right |=C_{33}^{6}$
$\left | N_{10} \right |=C_{23}^{6};\left | N_{11} \right |=C_{22}^{6};\left | N_{12} \right |=C_{21}^{6};| N_{10}\cap N_{11}|=C_{12}^{6}; | N_{10}\cap N_{12}|=C_{11}^{6}; | N_{11}\cap N_{12}|=C_{10}^{6} ;\left | N_{10}\cap N_{11}\cap N_{12} \right |=0$
Số cách chọn thỏa yêu cầu:
$\left | Y \right |=C_{33}^{6}-\left ( C_{23}^{6}+C_{22}^{6}+C_{21}^{6} \right )+\left ( C_{12}^{6}+C_{11}^{6}+C_{10}^{6} \right )$
Bài toán 2: Có 8 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Ghép các em nữ thành 3 nhóm mỗi nhóm 3 nữ và xếp các nhóm nữ này xen kẽ với các em nam thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao cách?
Giải bài toán này như sau:
+ Xếp 8 em nam thành vòng tròn có $7!$ cách.
+ Chia nữ thành 3 nhóm có $C_9^3.C_6^3$ cách.
Tính như vầy là có xét thứ tự của 3 nhóm, nên ta khử tính thứ tự này đi: $\frac{C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{3!}$
+ Xếp 3 nhóm nữ vào xen kẽ với 8 em nam có: $A_8^3$ cách.
+ Hoán vị 3 hs nữ trong nhóm : $3!.3!.3!$ cách.
Vậy có: $7!.\frac{C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{3!}.A_{8}^{3}.\left ( 3! \right )^{3}$ cách.
