Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{n}}{b + c} \geq \frac{3}{2} \left ( \frac{a + b + c}{3} \right )^{n - 1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
QQspeed22

QQspeed22

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Cho a,b,c > 0 và n $\geq 2$ và n $\in N$ . Chứng minh rằng

$\frac{a^n}{b + c} + \frac{b^n}{a + c} + \frac{c^n}{a + b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a + b + c}{3})^{n - 1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QQspeed22: 17-11-2015 - 21:14


#2
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho a,b,c > 0 và n $\geq 2$ và n $\in N$ . Chứng minh rằng

$\frac{a^n}{b + c} + \frac{b^n}{a + c} + \frac{c^n}{a + b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a + b + c}{3})^{n - 1}$

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có :

$(\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{a+b})((b+c)+(c+a)+(a+b))(1^{n}+1^{n}+1^{n})^{n-2} \geq (a+b+c)^{n}$

Tương đương

$(a+b+c)^{n-1} \leq 2.3^{n-2}.(\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b})$

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 17-11-2015 - 22:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh