Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3\prod (x+y)\leq 5(y+z)^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:

                      $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3$



#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:

                      $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3$

$x(x+y+z)=3yz\Leftrightarrow (x+y)(x+z)=4yz$

Đặt $x+y=a;x+z=y\Rightarrow ab=4yz$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^2)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}[(a-b)^{2}+ab]=\sqrt{2[(a-b)^{2}+2ab]}[(a-b)^{2}+ab]=\sqrt{2[(y-z)^{2}+8yz]}[(y-z)^{2}+4yz]=\sqrt{2[(y-z)^{2}+8yz]}(y+z)^{2}\leq \sqrt{4(y+z)^{2}}(y+z)^{2}=2(y+z)^{3}\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+z)^{3}\leq 2(y+z)^{3}(1)$

Lại có $3(x+y)(y+z)(z+x)=12yz(y+z)\leq 3(y+z)^{2}(y+z)=3(y+z)^{3}(2)$

Cộng vế vs vế của $(1)(2)$ ta có $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 2(y+z)^3+3(y+z)^{3}=5(y+z)^3\rightarrow \blacksquare$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

File gửi kèm  12 cach giai khac nhau cho cau 5 de thi khoi A 2009.pdf   193.04K   20 Số lần tải


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh