Cho A là ma trận vuông cấp $n$ sao cho mỗi hàng mỗi cột có đúng $1$ phần tử bằng $1$, còn lại bằng $0$. CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị
CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị
Bắt đầu bởi 19kvh97, 19-11-2015 - 22:14
kim văn hùng ma trận
#1
Đã gửi 19-11-2015 - 22:14
#2
Đã gửi 22-11-2015 - 12:42
Mình dùng điện thoại nên không gõ rõ chứng mình ra được nhưng ý là thế này :
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{p}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{p}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-11-2015 - 16:15
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#3
Đã gửi 23-11-2015 - 12:30
Mình dùng điện thoại nên không gõ rõ chứng mình ra được nhưng ý là thế này :
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{k}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$
Giải thích chỗ màu đỏ kỹ hơn được ko Đạt?
#4
Đã gửi 24-11-2015 - 16:14
À đúng là 1 lối thiếu sót nghiêm trọng ạ T_T em cảm ơn. Chỗ đó mình có thể lí luận do định thức của mọi ma trận thuộc $C$ chỉ có thể là $\pm 1$ (suy ra từ định nghĩa định thức). Vậy nên $A^p$ có nghịch đảo. Nhân 2 vế với nghịch đảo của nó ta có đpcm.
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: kim văn hùng, ma trận
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh