Đến nội dung

Hình ảnh

CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị

- - - - - kim văn hùng ma trận

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Cho A là ma trận vuông cấp $n$ sao cho mỗi hàng mỗi cột có đúng $1$ phần tử bằng $1$, còn lại bằng $0$. CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị



#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Mình dùng điện thoại nên không gõ rõ chứng mình ra được nhưng ý là thế này :
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{p}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-11-2015 - 16:15

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Mình dùng điện thoại nên không gõ rõ chứng mình ra được nhưng ý là thế này :
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{k}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$

 

Giải thích chỗ màu đỏ kỹ hơn được ko Đạt? :)


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
À đúng là 1 lối thiếu sót nghiêm trọng ạ T_T em cảm ơn. Chỗ đó mình có thể lí luận do định thức của mọi ma trận thuộc $C$ chỉ có thể là $\pm 1$ (suy ra từ định nghĩa định thức). Vậy nên $A^p$ có nghịch đảo. Nhân 2 vế với nghịch đảo của nó ta có đpcm.
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: kim văn hùng, ma trận

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh