Đến nội dung

Hình ảnh

$a=r(a)$ thì a không có ideal nhúng nào

primary decomposition embedded ideal

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Cho $a$ là một ideal. Nếu $a=r(a)$ thì $a$ không có ideal nhúng nào. Mình thực sự không có hướng nào để chứng minh cái này. Đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng phân tích gốc (primary decomposition), nhưng mình chưa thu được gì từ đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 20-11-2015 - 21:16


#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho $a$ là một ideal. Nếu $a=r(a)$ thì $a$ không có ideal nhúng nào. Mình thực sự không có hướng nào để chứng minh cái này. Đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng phân tích gốc (primary decomposition), nhưng mình chưa thu được gì từ đó.

 

$r(a)$ là gì vậy bạn? Radical của $a$ à?



#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

$r(a)$ là gì vậy bạn? Radical của $a$ à?

Đúng rồi.



#4
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đúng rồi.

 

Uhm, vậy thì thử thế này. Vì bạn có đề cập đến primary decomposition, nên mình nghĩ vành đang xét là Noetherian. Gọi $a= \bigcap Q_i$ là minimal primary decomposition của $a$, với $Q_i$ là $P_i-$ primary. Ta có $Ass(R/a)= \{P_i\}$. Lấy radical của 2 vế, ta có $a=\sqrt{a}= \bigcap \sqrt{Q_i}= \bigcap P_i$. Đây là 1 primary decomposition của $a$. Vì toàn bộ $Ass(R/a)$ đã xuất hiện (đúng 1 lần duy nhất) trong decomposition này, nên nó minimal (nếu nó không minimal, ta có thể loại bỏ cho đến khi nào nó minimal, thí dụ ta loại bỏ $P_1$, như vậy $Ass(R/a)$ sẽ thiếu $P_1$). Nói cách khác, $P_i$ không embedded.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 22-11-2015 - 02:51

  • Nxb yêu thích

#5
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Uhm, vậy thì thử thế này. Vì bạn có đề cập đến primary decomposition, nên mình nghĩ vành đang xét là Noetherian. Gọi $a= \bigcap Q_i$ là minimal primary decomposition của $a$, với $Q_i$ là $P_i-$ primary. Ta có $Ass(R/a)= \{P_i\}$. Lấy radical của 2 vế, ta có $a=\sqrt{a}= \bigcap \sqrt{Q_i}= \bigcap P_i$. Đây là 1 primary decomposition của $a$. Vì toàn bộ $Ass(R/a)$ đã xuất hiện (đúng 1 lần duy nhất) trong decomposition này, nên nó minimal (nếu nó không minimal, ta có thể loại bỏ cho đến khi nào nó minimal, thí dụ ta loại bỏ $P_1$, như vậy $Ass(R/a)$ sẽ thiếu $P_1$). Nói cách khác, $P_i$ không embedded.

Ừ nhỉ. Cái này ngay từ định nghĩa đã thấy rồi. Chỉ giả thiết rằng $a$ có phân tích thôi chứ không cần vành là Noethrian nhưng vẫn làm như trên được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 22-11-2015 - 08:42






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: primary decomposition, embedded ideal

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh