Chủ đề này có 1 trả lời

[unin]

Một R- môđun M được gọi là đơn ney61 không có bất kì môđun con nào khác 0 và chính nó. Chứng minh rằng M là đơn khi và chỉ khi với mọi $x\in M, x\neq 0$  ta có $ M = Rx = \left \{ rx\mid r\in R \right \}$

[ChienMatic]

Một R- môđun M được gọi là đơn nếu không có bất kì môđun con nào khác 0 và chính nó.

Chứng minh rằng M là đơn khi và chỉ khi với mọi $x\in M, x\neq 0$  ta có $ M = Rx = \left \{ rx\mid r\in R \right \}$.

 

$(\Longrightarrow)$ Giả sử $M$ là môđun đơn.

Lấy $x\in M\setminus\{0\}$ thì $Rx\neq0$ suy ra $Rx=M$ (định nghĩa môđun đơn).

 

$(\Longleftarrow)$ Giả sử $M=Rx$ với mọi $x\neq0$.

Ta chứng minh với $0\subsetneq N \subseteq M$ thì $N=M$. Thật vậy,

$0\subsetneq N \subseteq M$ nên tồn tại $x\in N\setminus\{0\}$.

Suy ra $M=Rx\subseteq N\subseteq M$ hay $N=M$. 

Vậy $M$ là môđun đơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChienMatic: 31-12-2015 - 19:08