6 replies to this topic

[rikimaru]

Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 

$\left\{\begin{matrix} ax+y+z=a\\ x+by+z=b \\ x+y+cz=c \end{matrix}\right.$

(với a,b,c là tham số)

Edited by rikimaru, 02-12-2015 - 18:17.

[An Infinitesimal]

TH1: $(a-1)(b-1)(c-1)=0$, ...

(Trong quá trình đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang phát sinh trường hợp này!)

 

TH2: $(a-1)(b-1)(c-1)\neq 0$

Ma trận mở rộng của hệ có dạng bậc thang (các biến đổi cụ thể như file đính kèm). 

$ \begin{bmatrix}1 & 1 & c&c\\ 0 & b-1 & 1-c&b-c\\ 0 & 0 & a + b + c - abc - 2&- a - b + c + 2ab - abc\end{bmatrix}.$

 

TH2.1: Nếu $\begin{cases}  a + b + c - abc - 2=0, \\- a - b + c + 2ab - abc\neq 0 \end{cases}$ thì hệ vô nghiệm.

 

TH2.2: Nếu $\begin{cases}  a + b + c - abc - 2=0, \\- a - b + c + 2ab - abc= 0 \end{cases}$ thì hệ vô số nghiệm  $(x,y,z)$ thỏa

$y= \frac{b-c+(c-1)z}{b-1}, x= c-\frac{b-c+(c-1)z}{b-1}-cz$ với $z\in \mathbb{R}$.

 

TH 2.3: Nếu $ a + b + c - abc - 2=0$ thì hệ có nghiệm duy nhất. Công thức nghiệm khá phức tạp.

 

$$\begin{cases} x=-\frac{b - a + c - 2 bc + a b c}{a + b + c - a b c - 2},\\ y=-\frac{a - b + c - 2a c + a bc}{a + b + c - a b c - 2}, \\ z=-\frac{a + b - c - 2 ab + abc}{a + b + c - a bc - 2}. \end{cases}$$

 

 

Attached Images

• 

Edited by vanchanh123, 13-12-2015 - 20:51.

[vanthang1997]

mình không hiểu lắm về trường hợp 2.3. Nếu a+b+c-abc-2=0 thì nghiệm x, y, z sao có mẫu số là a+b+c-abc-2 ?

Edited by vanthang1997, 23-03-2016 - 07:41.

[An Infinitesimal]

mình không hiểu lắm về trường hợp 2.3. Nếu a+b+c-abc-2=0 thì nghiệm x, y, z sao có mẫu số là a+b+c-abc-2 ?

Khác không mà mình ghi nhấm thành 0!

[huybui14101998]

anh vanchanh có thể nói rõ cho em cái TH1 được k ạ ??

[An Infinitesimal]

anh vanchanh có thể nói rõ cho em cái TH1 được k ạ ??

 

 

Xét trường hợp "tượng trưng": TH I: $a=1$. Khi đó 

  $\begin{cases}  x+y+z=1,\\ (b-1)(y-1)=0,\\ (c-1)(z-1)=0.\end{cases}$

 

TH 1.1:$b\neq 1, c\neq 1$

 Hệ có nghiệm duy nhất $(x, y, z)=(-1, 1, 1).$

TH 1.2:$b\neq 1, c= 1$

 

 Hệ có vô số nghiệm $(x, y, z)=(-u, 1, u) \, \forall u\in \mathbb{R}.$ 

TH 1.3: $b=1, c\neq 1$

 

 Hệ có vô số nghiệm $(x, y, z)=(-u, u, 1) \, \forall u\in \mathbb{R}.$ 

 

TH 1.4: $b= 1, c= 1$

 

 Hệ có vô số nghiệm $(x, y, z)=(-u-v, u, v) \, \forall u, v\in \mathbb{R}.$ 

 

 

 

TH II:$a\neq 1$ 

TH 1.5: $b=1, c\neq 1$

 Hệ có nghiệm duy nhất $(x, y, z)=(1, -1, 1) .$ 

 

TH 1.6: $b=1, c=1$

 Hệ có vô số nghiệm $(x, y, z)=(1 u, -u) \, \forall u\in \mathbb{R}.$ 

 

TH 1.7: $b\neq 1, c= 1$

 Hệ có nghiệm duy nhất $(x, y, z)=(1, 1, -1).$ 

Edited by vanchanh123, 26-12-2016 - 21:47.

[huybui14101998]

Cảm ơn anh nhiều lắm ạ