Chủ đề này có 7 trả lời

[hthang0030]

cho ba số không âm thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR:$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 03-12-2015 - 19:03

[cyndaquil]

cho ba số không âm thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR:$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$

Áp dụng bđt Bunhiacốpski: $(1+1+1)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow 9 \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \le 3$

Lại có $3=a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

$VP= \sum \frac{a}{b+1+1} \le \sum \frac{a}{9}(b+1+1)=\frac{\sum ab}{9}+\frac{2\sum a}{9} \le \frac{3}{9}+\frac{2.3}{9}=1$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[hthang0030]

Áp dụng bđt Bunhiacốpski: $(1+1+1)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow 9 \ge (a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \le 3$

Lại có $3=a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

$VP= \sum \frac{a}{b+1+1} \le \sum \frac{a}{9}(b+1+1)=\frac{\sum ab}{9}+\frac{2\sum a}{9} \le \frac{3}{9}+\frac{2.3}{9}=1$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Ở đây có vấn đề rồi bạn

[cyndaquil]

Ở đây có vấn đề rồi bạn

mình sử dụng bđt này $\frac{1}{x+y+z} \le \frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ Với $x=b,y=1,z=1$

[hthang0030]

i know it.Nhưng mà bạn áp dụng nhầm rồi.Phải là $\frac{a}{b+1+1}\leq \frac{a}{9}(\frac{1}{b}+1+1)$ chứ

[hthang0030]

mình thử cách này rồi nhưng không ra

[hthang0030]

Quy đồng rồi sử dụng bất đẳng thức hoán vị :v =))) Đã thành công

[KietLW9]

cho ba số không âm thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR:$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$

Quy đồng rồi rút gọn thì ta cần chứng minh: 

$(ab^2+bc^2+ca^2)+2(a^2+b^2+c^2)\leqslant abc+8$

hay 

$ab^2+bc^2+ca^2\leqslant abc+2$

Thật vậy, vì $a\geqslant b\geqslant c$ nên:

$a(b-a)(b-c)\leqslant 0\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc=3b-b^3+abc=2-(b-1)^2(b+2)+abc\leqslant abc+2(Q.E.D)$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$