Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số có 4 chữ số

- - - - -

Lời giải quanguefa, 05-12-2015 - 20:42

Câu a: đáp số là 615 (chắc chắn đúng, đã thử bằng pascal)

 

Câu b(hơn cả tiếng, nhờ sự trợ giúp của casio và pascal để check kết quả, đi thi mà gặp cũng bó):

 

Gọi n là tổng 2 số hạng đầu. Dễ thấy $3\leq n\leq 15$

Ta chia n thành 4 trường hợp (khi phân tích từng trường hợp sẽ hiểu tại sao lại chia như vậy).

 

- TH1: $3\leq n\leq 9$ và n lẻ, tức là n=3, 5, 7, 9.

Ta phân tích n=5 để tổng quát cho trường hợp này. Với n=5, các cặp số mà tổng bằng 5 là: 05, 14, 23, 32, 41, 50. Khi đó chọn 2 số đầu có 5 cách (loại 05). Chọn 2 số sau có 4 cách (vì khi đó có thể chọn 05 nhưng loại số giống 2 số đầu và số đảo ngược của hai số đầu, ví dụ như chọn 14 là hai số đầu thì ko thể chọn 14 và 41 là 2 số sau). Vậy có 20 cách. Tổng quát với TH này, ứng với mỗi n ta có $n(n-1)$ cách chọn. Cho n lần lượt bằng 3, 5, 7, 9 rồi lấy tổng. Được 140 cách.

 

- TH2: $3\leq n\leq 9$ và n chẵn, tức là n=4, 6, 8.

Ta phân tích n=4 để tổng quát cho trường hợp này. Với n=4, các cặp số mà tổng bằng 4 là: 04, 13, 31, 40. Khi đó chọn 2 số đầu có 3 cách và chọn 2 số sau có 2 cách (lý luận tương tự như trên). Tức là với TH này, ứng với mỗi n ta có $(n-1)(n-2)$ cách chọn. Cho n lần lượt bằng 4, 6, 8 rồi lấy tổng. Được 68 cách.

 

- TH3: $10\leq n\leq 15$ và n lẻ, tức là n=11, 13, 15.

Lý luận tương tự 2 TH trên (và tham khảo thêm câu a nhé) ta có CT tổng quát là: $(19-n)(17-n)$. Lấy tổng ta được 80 cách.

 

- TH4: $10\leq n\leq 15$ và n chẵn, tức là n=10, 12, 14

CT tổng quát là $(18-n)(16-n)$. Lấy tổng được 80 cách.

 

Tổng các số thỏa mãn là: 140+68+80+80=368

(có pascal nên khỏi lo kết quả :) )

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
bach7a5018

bach7a5018

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối

b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bach7a5018: 05-12-2015 - 20:12


#2
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

a) Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối

b) Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối

a)Cứ lấy số có dạng $\overline{abab}$ là được



#3
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

a)Cứ lấy số có dạng $\overline{abab}$ là được

1111 có dạng đó đâu mà vẫn thõa đấy thôi.

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#4
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
Câu a. Giả sử tổng 2 số đầu là n.
Xét n<=9 thì ta có n cách chọn 2 số đầu (ví dụ tổng là 5 thì có: 14, 23, 32, 41, 50) và n+1 cách chọn 2 số sau (05, 14, 23, 32, 41, 50). Tức là với tổng 2 số đâu bằng n thì chọn được n(n+1) số. Cho n chạy từ 1 đến 9 và lấy tổng.
Xét 10<=n<=18 thì với tổng 2 số đầu bằng n thì ta có (19-n) cách chọn 2 số đầu (ví dụ n=10 có 9 số: 19, 28,..., 91. n=12 có 7 số: 39, 48,..., 93) và (19-n) cách chọn hai số sau. Tóm lại là có (19-n)^2 cách. Cho n chạy từ 10 đến 18 và lấy tổng.
Tổng 2 TH là đáp số cần tìm

P/s: đang ngồi trong tiệm hớt tóc ko có máy tính với giấy bút, mấy bạn xem thử có sai đâu ko :)

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#5
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

1111 có dạng đó đâu mà vẫn thõa đấy thôi.

nó vẫn có dạng $\overline{abab}$, trong đó thì a=b 



#6
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

nó vẫn có dạng $\overline{abab}$, trong đó thì a=b 

Vậy bạn thử giải xem đi


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#7
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

nó vẫn có dạng $\overline{abab}$, trong đó thì a=b 

 ví dụ số 9485 thì sao, suy nghĩ rồi hãy nói nhé. Đừng có bình luận kiểu spam như vậy


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#8
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
✓  Lời giải

Câu a: đáp số là 615 (chắc chắn đúng, đã thử bằng pascal)

 

Câu b(hơn cả tiếng, nhờ sự trợ giúp của casio và pascal để check kết quả, đi thi mà gặp cũng bó):

 

Gọi n là tổng 2 số hạng đầu. Dễ thấy $3\leq n\leq 15$

Ta chia n thành 4 trường hợp (khi phân tích từng trường hợp sẽ hiểu tại sao lại chia như vậy).

 

- TH1: $3\leq n\leq 9$ và n lẻ, tức là n=3, 5, 7, 9.

Ta phân tích n=5 để tổng quát cho trường hợp này. Với n=5, các cặp số mà tổng bằng 5 là: 05, 14, 23, 32, 41, 50. Khi đó chọn 2 số đầu có 5 cách (loại 05). Chọn 2 số sau có 4 cách (vì khi đó có thể chọn 05 nhưng loại số giống 2 số đầu và số đảo ngược của hai số đầu, ví dụ như chọn 14 là hai số đầu thì ko thể chọn 14 và 41 là 2 số sau). Vậy có 20 cách. Tổng quát với TH này, ứng với mỗi n ta có $n(n-1)$ cách chọn. Cho n lần lượt bằng 3, 5, 7, 9 rồi lấy tổng. Được 140 cách.

 

- TH2: $3\leq n\leq 9$ và n chẵn, tức là n=4, 6, 8.

Ta phân tích n=4 để tổng quát cho trường hợp này. Với n=4, các cặp số mà tổng bằng 4 là: 04, 13, 31, 40. Khi đó chọn 2 số đầu có 3 cách và chọn 2 số sau có 2 cách (lý luận tương tự như trên). Tức là với TH này, ứng với mỗi n ta có $(n-1)(n-2)$ cách chọn. Cho n lần lượt bằng 4, 6, 8 rồi lấy tổng. Được 68 cách.

 

- TH3: $10\leq n\leq 15$ và n lẻ, tức là n=11, 13, 15.

Lý luận tương tự 2 TH trên (và tham khảo thêm câu a nhé) ta có CT tổng quát là: $(19-n)(17-n)$. Lấy tổng ta được 80 cách.

 

- TH4: $10\leq n\leq 15$ và n chẵn, tức là n=10, 12, 14

CT tổng quát là $(18-n)(16-n)$. Lấy tổng được 80 cách.

 

Tổng các số thỏa mãn là: 140+68+80+80=368

(có pascal nên khỏi lo kết quả :) )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 05-12-2015 - 20:53

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#9
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Một cách khácCác số dạng $\overline{abcd}$. Theo đề bài ta có: $\begin {cases} a+b-c-d=0\\1\leq a\leq 9,0\leq b,c,d\leq 9 \end {cases}$Đặt $a=x_1+1, b=x_2, c=9-x_3, d=9-x_4$ ta được $\begin {cases} x_1+1+x_2+x_3-9+x_4-9=0\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=17\\ 0\leq x_1\leq 8,0\leq x_2,x_3,x_4\leq 9 \end {cases}$ có số nghiệm là $\binom{20}{3}$.Xét trường hợp $x_1> 8$:Đặt $y_1=x_1-9$ ta có phương trình $ y_1+x_2+x_3+x_4=8\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{11}{3}$.
Xét trường hợp $x_2,x_3,x_4>9$: Đặt $y_2=x_2-10$ ta có phương trình $x_1+y_2+x_3+x_4=7\Rightarrow $ số nghiệm là $\binom{10}{3}$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$\binom{20}{3}-\binom{11}{3}-3\binom{10}{3}=615$

b) Xem chữ số 0 phía trái ngoài cùng là có nghĩa.
Ta thấy cứ 2 cặp chữ số cùng tổng thì lập được 8 số.
Từ các chữ số $a,b,c,d$ ta lập thành dãy tăng nghiêm ngặt $z_1<z_2<z_3<z_4$ thì ta đếm có bao nhiêu bộ $(z_1,z_2,z_3,z_4 )$. Với mỗi $t=z_2-z_1$ và đặt $z_1=p, z_2=p+t, z_3= q+t, z_4=p+2t$ ta có $\binom {10-2t}{2}$ cách chọn 2 phần tử $p<q$ của tập $\left\{ 0, 1,...,9-2t \right\}$ . Do $t$ chạy từ 1 đến 4 nên số các số tạo thành ( kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) là:
$8\sum_{t=1}^{4}\binom {10-2t}{2}=8\left[ \binom {8}{2}+\binom {6}{2}+\binom {4}{2}+\binom {2}{2}\right]=400$
Số các số có chữ số 0 đứng đầu : lúc này $p=0$, mỗi cách chọn 1 cặp số cùng tổng thì lập thành 2 số nên:
$2\sum_{t=1}^{4}\binom {9-2t}{1}=2\left[ \binom {7}{1}+ \binom {5}{1}+\binom {3}{1}+\binom {1}{1}\right]=32$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là:
$400-32= 368$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 23-03-2023 - 22:47
Sửa lỗi Font chữ

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#10
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

@hxthanh: hic, cảm ơn thầy rất nhiều. Nhưng em không thể sửa 2 sum cuối :

.....Do $t$ chạy từ 1 đến 4 nên số các số tạo thành ( kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) là: $8\sum_{t=1}^{4}\binom {10-2t}{2}=8\left[ \binom {8}{2}+ \binom {6}{2}+\binom {4}{2} + \binom {2}{2}\right]=400$

Số các số có chữ số 0 đứng đầu : lúc này $p=0$, mỗi cách chọn 1 cặp số cùng tổng thì lập thành 2 số nên: $2\sum_{t=1}^{4}\binom {9-2t}{1}=2\left[ \binom {7}{1}+\binom {5}{1}+\binom {3}{1} + \binom {1}{1}\right]=32$
=======
Khắc phục như thế nào chỉ em với!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-03-2023 - 22:48
LaTeX

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh