Chủ đề này có 2 trả lời

[diepviennhi]

Cho A,B là ma trận kích thước mxn và nxp. chứng minh $r(AB)\leq min{r(A),r(B)}$

Em định chứng minh nếu g,f là 2 axtt thỏa mãn A,B thì kerf là con của kergf và imgf là con img. để suy ra bất đẳng thức số chiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diepviennhi: 05-12-2015 - 15:26

[An Infinitesimal]

Định nghĩa $r(A)$ của bạn là gì?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 13-12-2015 - 01:12

[trauvang97]

 

Cho A,B là ma trận kích thước mxn và nxp. chứng minh $r(AB)\leq min{r(A),r(B)}$

Em định chứng minh nếu g,f là 2 axtt thỏa mãn A,B thì kerf là con của kergf và imgf là con img. để suy ra bất đẳng thức số chiều

 

 

Ta có một định lí quen thuộc sau:

Nếu $f:V\rightarrow V$ là ánh xạ tuyến tính và $L$ là không gian vecto con của $V$ thì: $dimf(L)\leq dimL$

 

Gọi: $f:U\rightarrow V,g:V\rightarrow W$ là các ánh xạ tuyến tính lần lượt nhận $A$, $B$ làm ma trận biểu diễn trong một cơ sở nào đó.

Khi đó:                                   $rank(AB)\leq min(rank(A),rank(B))\Leftrightarrow rank(gof)\leq min(rankf,rankg)$

 

Áp dụng định lí trên ta có:    $dim(f(U))\geq dim(g(f(U)))=dim(gof)(U)=dimIm(gof)$

 

Do đó:                                  $rank(gof)\leq rankf$

 

Mặt khác:  $f(U)\subset V$ nên $g(f(U))\subset g(V)$, do đó: $dim(g(f(U)))\leq dimg(V)$ nghĩa là  $rank(gof)\leq rankg$

 

Do đó ta có đpcm