Cho $f:[a,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả tích trên mọi khoảng $[a,x],\forall x>a$. Giả sử rằng $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0$. Chứng tỏ rằng $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ.
$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0$. Chứng tỏ rằng $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ.
Bắt đầu bởi youkito89, 11-12-2015 - 22:01
#2
Đã gửi 18-12-2015 - 10:57
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
Cho $f:[a,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả tích trên mọi khoảng $[a,x],\forall x>a$. Giả sử rằng $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\alpha \neq 0$. Chứng tỏ rằng $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ.
Không mất tổng quát, ta giả sử $\alpha>0$, khi đó với $M$ đủ lớn, ta có $f(x)>\frac{\alpha}{2}>0 \forall x\in (M, \infty)$.
Khi đó
$$\int_{M}^{+\infty }f(x)dx \ge \int_{M}^{+\infty }\frac{\alpha}{2}dx=\infty.$$
Suy ra điều phải chứng minh.
- youkito89 yêu thích
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
