CM: $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{c^{2}}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4}$ với $\sum \frac{1}{a} =1$ và $a,b,c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 12-12-2015 - 19:21
CM: $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{c^{2}}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4}$ với $\sum \frac{1}{a} =1$ và $a,b,c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 12-12-2015 - 19:21
CM: $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{c^{2}}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4}$ với $\sum \frac{1}{a} =1$ và $a,b,c>0$
$\sum \frac{1}{a} =1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$
Áp dụng AM-GM:
$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+c)(a+b)}=\sum (\frac{a^{3}}{(a+c)(a+b)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8})-\frac{a+b+c}{2}\geq \sum 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(a+c)(a+b)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\rightarrow \blacksquare$
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-12-2015 - 23:37
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh