Cho a,b,c>0 và $\sum ab=1$
CMR: $\sum \frac{1}{ab} \geq 3+ \sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 13-12-2015 - 15:19
Cho a,b,c>0 và $\sum ab=1$
CMR: $\sum \frac{1}{ab} \geq 3+ \sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}$
Áp dụng AM-GM:
$\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}=\sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{a^{2}}}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2a}=3+\sum \frac{b+c}{2a} =3+\frac{1}{2}\sum (\frac{b}{a}+\frac{c}{a})=3+\frac{1}{2}\sum (\frac{b}{a}+\frac{b}{c})=3+\frac{1}{2}\sum \frac{bc+ba}{ac}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)(\sum \frac{1}{ab})=\frac{3}{2}+\sum \frac{1}{2ab}\Leftrightarrow 3+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}\leq \frac{9}{2}+\sum \frac{1}{2ab}$
Ta cần chứng minh:$\frac{9}{2}+\sum \frac{1}{2ab}\leq \sum \frac{1}{ab}\Leftrightarrow \frac{9}{2}\leq \sum \frac{1}{2ab}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{ab}\leq 9$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh