Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{1}{ab} \geq 3+ \sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}+1}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Cho a,b,c>0 và $\sum ab=1$

CMR: $\sum \frac{1}{ab} \geq 3+ \sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 13-12-2015 - 15:19


#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Cho a,b,c>0 và $\sum ab=1$

CMR: $\sum \frac{1}{ab} \geq 3+ \sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}$

Áp dụng AM-GM:

$\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}=\sum \sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{a^{2}}}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2a}=3+\sum \frac{b+c}{2a} =3+\frac{1}{2}\sum (\frac{b}{a}+\frac{c}{a})=3+\frac{1}{2}\sum (\frac{b}{a}+\frac{b}{c})=3+\frac{1}{2}\sum \frac{bc+ba}{ac}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)(\sum \frac{1}{ab})=\frac{3}{2}+\sum \frac{1}{2ab}\Leftrightarrow 3+\sum \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}\leq \frac{9}{2}+\sum \frac{1}{2ab}$

Ta cần chứng minh:$\frac{9}{2}+\sum \frac{1}{2ab}\leq \sum \frac{1}{ab}\Leftrightarrow \frac{9}{2}\leq \sum \frac{1}{2ab}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{ab}\leq 9$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh