Chủ đề này có 7 trả lời

[xxthieuongxx]

Cho $x,y,x>0$ và $xyz=1$. Chứng minh: 

$\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2+y+4}}+\frac{1}{\sqrt{4z^2+z+4}}\leq 1$

[quoccuonglqd]

Áp dụng C-S ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$

Tới đây sử dụng bổ đề: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1 $với xyz=1

Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ nhưng đây chính là 1 đẳng thức với xyz=1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-12-2015 - 07:01

[Gachdptrai12]

bđt c-s sai rồi bạn ơi

[xxthieuongxx]

 

Áp dụng C-S ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$

Tới đây sử dụng bổ đề: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1 $với xyz=1

Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ nhưng đây chính là 1 đẳng thức với xyz=1 

 

Cho mình hỏi tại sao $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ ???

[quoccuonglqd]

Bạn quy đồng lên sẽ thấy xảy ra đẳng thức

[tcqang]

 

Áp dụng C-S ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$

Tới đây sử dụng bổ đề: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1 $với xyz=1

Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ nhưng đây chính là 1 đẳng thức với xyz=1 

 

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$ bị nhầm nghen bạn.

Đúng phải là:

 

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq 3 \sum \frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \sum (\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{3(2x^{2}+1)})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 24-12-2015 - 11:12

[lebaominh95199]

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$ bị nhầm nghen bạn.

Đúng phải là:

 

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq 3 \sum \frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \sum (\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{3(2x^{2}+1)})$

Bạn ơi, hình như sai ngay từ đầu rùi. Nếu bạn thay $x=2000;y=\frac{1}{100};z=\frac{1}{20}$ thì$3 \sum \frac {1}{4x^{2}+x+4}> 1$

[quoccuonglqd]

Xin lỗi,mình ngộ nhận bước đăng thức 

Thay $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$

Bdt trở thành $\sum\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}\leq 1$

Áp dụng C-S ta có $(\sum\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}})^{2}\leq[\sum (4a^{2}+ac+4c^{2})][\frac{a^{2}}{(4a^{2}+ab+4b^{2})(4a^{2}+ac+4c^{2})}]$

Biến đổi tương đương bdt trở thành $8abc\sum a^{3}+8\sum a^{3}b^{3}+3abc\sum a^{2}(b+c)\geq 66a^{2}b^{2}c^{2}$(luôn đúng)