Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum bc\sqrt{a^{2}-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
1 bài tương đối đơn giản :v :v :v
cho a+b+c+2=abc với a,b,b là các số thực dương
chứng minh
$\sum bc\sqrt{a^{2}-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:30


#2
lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Ừ bạn nói đúng, bài đơn giản thật.

Mà bạn viết đề sai rồi, phải là $\sum bc\sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}abc$ mới đúng.

Vì a+b+c+2=abc nên ta có thể đặt:$a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}$ 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$ 

Ta có:$\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}= \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \sqrt{\frac{((x+y)^{2}+z^{2})(1^{2}+2^{2})}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \frac{2(x+y)+z}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{5}}.(6+\sum \frac{z}{x+y})\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$

(Áp dụng bất đẳng thức Nesbit)

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 21:50


#3
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ đó bạn ạ mình sẽ c/m nhé 



#4
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn 

bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$

áp dụng bđt cauchy schwarz ta có 

$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$

cần c/m $3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})\leq \frac{27}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{4}$(1)

từ giả thuyết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{2}{abc}=1$(*)

mà $\sum \frac{1}{ab}\leq \frac{1}{3}(\sum\frac{1}{a} )^{2} ;\frac{1}{abc}\leq \frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3} \Rightarrow (*)\leq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a})^{2}+\frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3}$

đặt$t= \sum \frac{1}{a} \Leftrightarrow 1\leq \frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{27}t^{3}\Leftrightarrow 9t^{2}+2t^{3}-27\geq 0\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{2}{3}$ ta có  $(1)\Leftrightarrow t^{2}-2\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{3}{4}$ đến đây có thể tự giải được rồi nhỉ  p/s :))) bài này khó đấy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-12-2015 - 09:39


#5
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

bạn c/m sai rồi kìa như bạn chứng minh là nó lớn hơn 3/2 thôi ak`



#6
lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

bạn c/m sai rồi kìa như bạn chứng minh là nó lớn hơn 3/2 thôi ak`

Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:20


#7
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa. Vậy là từ 1 cái lộn đề mà anh em mình thu được 1 bất đẳng thức kép luôn:$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq \sum bc\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

 

cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn 

bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}$\leq$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

áp dụng bđt cauchy schwarz ta có 

$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$

Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?



#8
lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?

Ừ đúng rồi, mình ghi mà cũng chẳng để ý nữa.$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} abc$ thế quái nào được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:24


#9
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
để anh coi đề rồi sửa lạo coi thử h anh dùng đt mai anh mở máy tính sửa lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:18


#10
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
đề sai rồi mình (có sự nhầm lẫn ko hề nhẹ ) mai mình sửa đề còn royal dấu trừ trong bđt c-s là tương đối thôi em ko nhất thiết là phải cộng hết đề là dấu trừ chứ ko phải cộng mai anh sửa cách của anh đúng theo đề anh quên chú ý còn bạn lebaominh thank bạn đã cho ra 1 bài mới :)))

#11
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải. Bài này có thể giải bằng lượng giác hóa


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh