cho a+b+c+2=abc với a,b,b là các số thực dương
chứng minh
$\sum bc\sqrt{a^{2}-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:30
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:30
Ừ bạn nói đúng, bài đơn giản thật.
Mà bạn viết đề sai rồi, phải là $\sum bc\sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}abc$ mới đúng.
Vì a+b+c+2=abc nên ta có thể đặt:$a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$
Ta có:$\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}= \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \sqrt{\frac{((x+y)^{2}+z^{2})(1^{2}+2^{2})}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \frac{2(x+y)+z}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{5}}.(6+\sum \frac{z}{x+y})\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$
(Áp dụng bất đẳng thức Nesbit)
Vậy suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 21:50
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ đó bạn ạ mình sẽ c/m nhé
cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn
bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$
áp dụng bđt cauchy schwarz ta có
$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$
cần c/m $3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})\leq \frac{27}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{4}$(1)
từ giả thuyết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{2}{abc}=1$(*)
mà $\sum \frac{1}{ab}\leq \frac{1}{3}(\sum\frac{1}{a} )^{2} ;\frac{1}{abc}\leq \frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3} \Rightarrow (*)\leq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a})^{2}+\frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3}$
đặt$t= \sum \frac{1}{a} \Leftrightarrow 1\leq \frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{27}t^{3}\Leftrightarrow 9t^{2}+2t^{3}-27\geq 0\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{2}{3}$ ta có $(1)\Leftrightarrow t^{2}-2\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{3}{4}$ đến đây có thể tự giải được rồi nhỉ p/s ) bài này khó đấy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-12-2015 - 09:39
bạn c/m sai rồi kìa như bạn chứng minh là nó lớn hơn 3/2 thôi ak`
Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:20
Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa. Vậy là từ 1 cái lộn đề mà anh em mình thu được 1 bất đẳng thức kép luôn:$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq \sum bc\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$
cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn
bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}$\leq$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
áp dụng bđt cauchy schwarz ta có
$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$
Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?
Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?
Ừ đúng rồi, mình ghi mà cũng chẳng để ý nữa.$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} abc$ thế quái nào được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:24
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:18
Lời giải. Bài này có thể giải bằng lượng giác hóa
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh