Chủ đề này có 10 trả lời

[Gachdptrai12]

1 bài tương đối đơn giản :v :v :v
cho a+b+c+2=abc với a,b,b là các số thực dương
chứng minh
$\sum bc\sqrt{a^{2}-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:30

[lebaominh95199]

Ừ bạn nói đúng, bài đơn giản thật.

Mà bạn viết đề sai rồi, phải là $\sum bc\sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}abc$ mới đúng.

Vì a+b+c+2=abc nên ta có thể đặt:$a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}$ 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$ 

Ta có:$\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}= \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \sqrt{\frac{((x+y)^{2}+z^{2})(1^{2}+2^{2})}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \frac{2(x+y)+z}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{5}}.(6+\sum \frac{z}{x+y})\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$

(Áp dụng bất đẳng thức Nesbit)

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 21:50

[Gachdptrai12]

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ đó bạn ạ mình sẽ c/m nhé 

[Gachdptrai12]

cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn 

bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$

áp dụng bđt cauchy schwarz ta có 

$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$

cần c/m $3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})\leq \frac{27}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{4}$(1)

từ giả thuyết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{2}{abc}=1$(*)

mà $\sum \frac{1}{ab}\leq \frac{1}{3}(\sum\frac{1}{a} )^{2} ;\frac{1}{abc}\leq \frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3} \Rightarrow (*)\leq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a})^{2}+\frac{1}{27}(\sum \frac{1}{a})^{3}$

đặt$t= \sum \frac{1}{a} \Leftrightarrow 1\leq \frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{27}t^{3}\Leftrightarrow 9t^{2}+2t^{3}-27\geq 0\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{2}{3}$ ta có  $(1)\Leftrightarrow t^{2}-2\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{3}{4}$ đến đây có thể tự giải được rồi nhỉ  p/s ) bài này khó đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-12-2015 - 09:39

[Gachdptrai12]

bạn c/m sai rồi kìa như bạn chứng minh là nó lớn hơn 3/2 thôi ak`

[lebaominh95199]

bạn c/m sai rồi kìa như bạn chứng minh là nó lớn hơn 3/2 thôi ak`

Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:20

[royal1534]

Ừ, cảm ơn bạn. Mình sơ suất quá, mình sửa lại rùi kìa. Vậy là từ 1 cái lộn đề mà anh em mình thu được 1 bất đẳng thức kép luôn:$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq \sum bc\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

 

cho sửa đề nhé nhỏ hơn chứ ko phải lớn hơn 

bđt $\Leftrightarrow \sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}$\leq$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

áp dụng bđt cauchy schwarz ta có 

$(VT)^{2}\leq 3(3-\sum \frac{1}{a^{2}})$

Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?

[lebaominh95199]

Anh ghi đề sai rồi.Sử dụng Cauchy-Swarchz thì dấu $-$ ở đâu mà ra ?

Ừ đúng rồi, mình ghi mà cũng chẳng để ý nữa.$\frac{3\sqrt{5}}{2}abc\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} abc$ thế quái nào được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 19-12-2015 - 22:24

[Gachdptrai12]

để anh coi đề rồi sửa lạo coi thử h anh dùng đt mai anh mở máy tính sửa lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 19-12-2015 - 23:18

[Gachdptrai12]

đề sai rồi mình (có sự nhầm lẫn ko hề nhẹ ) mai mình sửa đề còn royal dấu trừ trong bđt c-s là tương đối thôi em ko nhất thiết là phải cộng hết đề là dấu trừ chứ ko phải cộng mai anh sửa cách của anh đúng theo đề anh quên chú ý còn bạn lebaominh thank bạn đã cho ra 1 bài mới )

[KietLW9]

Lời giải. Bài này có thể giải bằng lượng giác hóa