Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$



#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$VT=\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{3(x+y+z)-3xyz}$

Đặt $x+y+z=k$, ta có:

$VT\geq \frac{k^{2}}{3k-3xyz}$

Áp dụng BĐT quen thuộc sau:

$abc\geq \prod (a+b-c)=\prod (k-2a)=k^{3}-2k^{2}(x+y+z)+4k-8xyz\\\Rightarrow 9xyz\geq -k^{3}+4k$

Vậy $VT\geq \frac{k^{2}}{3k-\frac{-k^{3}+4k}{3}}=\frac{3k}{k^{2}+5}$ với $k\in [\sqrt{3};+\infty )$

*) Nếu $k\in \left [ \sqrt{3};\frac{5}{\sqrt{3}} \right ]$ thì 

$\frac{3k}{k^{2}+5}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}\Leftrightarrow \left ( k-\sqrt{3} \right )\left ( k-\frac{5}{\sqrt{3}} \right )\leq 0$, đúng

 

*) Nếu $k\in \left ( \frac{5}{\sqrt{3}};+\infty \right )$ thì:

$VT\geq \frac{k^{2}}{3k-3xyz}> \frac{k^{2}}{3k}=\frac{k}{3}\geq \frac{5\sqrt{3}}{9}> \frac{3\sqrt{3}}{8}=VP$

Cả hai trường hợp, ta đều có: $VT\geq VP$, BĐT được chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-12-2015 - 20:05


#3
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
Một cách nhìn nhận khác cho bài này
Đặt biểu thức vế trái la P,áp dụng C-S ta có 
$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+ba^{2}+bc^{2}+ca^{2}+cb^{2}+2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}$
Lại có đẳng thức $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
$P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{3}-\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}}=\frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{4}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$
Đặt $a+b+c=t\rightarrow P\geq \frac{t^{3}}{t^{4}-(t^{2}-2)^{2}}$
Đến đây có thể xét hàm với biến t





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh