Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 ngobaochau1704

ngobaochau1704

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán, xem Manchester United đá

Đã gửi 19-12-2015 - 05:50

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$



#2 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 19-12-2015 - 08:23

bài này qui đồng rồi dùng canchy cho $\frac{x^3y}{2}+\frac{xy^3}{2} \geq x^2y^2$ và $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{xy^3}{2}+\frac{x^3y}{2}\geq 2xy$



#3 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 19-12-2015 - 11:47

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Cách khác

Sử dụng bđt Bunhacopski ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2} $

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})} $

Thiết lập bđt tương tự và cộng lại ta có

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} \geq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})$$=\frac{1}{1+xy}(\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y})=\frac{1}{1+xy}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 19-12-2015 - 17:30


#4 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 19-12-2015 - 12:51

Cách khác

Sử dụng bđt Bunhacopski ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2} $

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \leq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})} $

Thiết lập bđt tương tự và cộng lại ta có

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} \leq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})$$=\frac{1}{1+xy}(\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y})=\frac{1}{1+xy}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Ngược dấu rồi bạn ơi


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#5 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 19-12-2015 - 17:31

Ngược dấu rồi bạn ơi

Fixed !



#6 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1217 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 23-04-2021 - 18:20

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh