Chủ đề này có 23 trả lời

[Viet Hoang 99]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÁI BÌNH

 

Môn: TOÁN

 

Câu 1. (3,0 điểm)  Cho $x=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}}}$.

Tính giá trị biểu thức

$$A=\dfrac{x^4-3x^3-2x^2+x+3}{x^3-2x^2-5x+3}$$.

Câu 2. (3,0 điểm) 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=ax+b (a\neq 0)$. Tìm $a$ và $b$ biết $(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ phân biệt sao cho $P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$$x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0$$.

2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2  &  & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2}  &  &  \end{matrix}\right.$$.

 

Câu 4. (2,0 điểm) 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

 

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp là $r$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Biết rằng $\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{1}{r}$.

Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

 

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn $(S)$ tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $H$ thuộc đoạn $AO$ ($H$ không trùng với $A$ và $O$). Kẻ $HC$ vuông góc với $AB$ ($C$ nằm trên nửa đường tròn $(S)$). Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(S)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $M$,$BM$ cắt $CH$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ song song với $MC$ cắt cung tròn tại điểm $E$. Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$ bán kính $CE$.

 

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố $x,y,z,t$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=3t+1  &  & \\ y=2t^2+3  &  & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right.$$.

 

---HẾT---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-12-2015 - 22:05

[Rias Gremory]

 

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$$x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0$$.

2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2  &  & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2}  &  &  \end{matrix}\right.$$.

1, 

$\Leftrightarrow (x-1)^3+3(x-1)=(6x^2+2)+3\sqrt[3]{6x^2+2}$

2,

ĐK : $x,y\geq 0$

Nhận xét $(x,y)=(0,0)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình

Hệ tương đương : 

$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{3}{x+3y}=\frac{2}{\sqrt{x}} \\ 1-\frac{3}{x+3y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \\ \frac{3}{x+3y}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{3}{x+3y}=(\frac{1}{\sqrt{x}})^2-(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})^2=\frac{1}{x}-\frac{8}{7y}$

$\Leftrightarrow (y-2x)(21y+4x)=0$

[vuliem1987]

Có lẽ ý 1 bài 3 bạn nên giải phần tiếp theo, vì có lẽ đó là phần tinh tế của câu này. Nếu giải bằng kiến thức THPT thì có thể làm được nhưng kiến thức THCS thì khó đấy.

Vì pt ko có nghiệm hữu tỉ nên có lẽ phải dùng kĩ thuật giải pt bậc 3 dạng đặc biệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 19-12-2015 - 23:51

[royal1534]

Có ai làm ra bài bất chưa ạ 

P/s:Đề xương xẩu quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-12-2015 - 06:47

[Kira Tatsuya]

 

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố $x,y,z,t$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=3t+1  &  & \\ y=2t^2+3  &  & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right.$$.

 

---HẾT---

 

thấy nó lạ lạ sao ấy,có gì sai xin chỉ lại :3

nếu t lẻ ($t\geq3$) thì 3t+1 chẵn thì x chẵn, mà x nguyên tố nên loại($x>2$)

Vậy t=2 nên x=7

thử với y và z ta có y=11;z=10, nên không có bộ nào thỏa 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 20-12-2015 - 08:27

[gianglqd]

Bài 7 t cũng là số nguyên tố luôn hả mọi người

[hoctrocuaHolmes]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÁI BÌNH

 

Môn: TOÁN

 

Câu 2. (3,0 điểm) 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=ax+b (a\neq 0)$. Tìm $a$ và $b$ biết $(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ phân biệt sao cho $P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$$x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0$$.

2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2  &  & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2}  &  &  \end{matrix}\right.$$.

Câu 4. (2,0 điểm) 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn $(S)$ tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $H$ thuộc đoạn $AO$ ($H$ không trùng với $A$ và $O$). Kẻ $HC$ vuông góc với $AB$ ($C$ nằm trên nửa đường tròn $(S)$). Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(S)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $M$,$BM$ cắt $CH$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ song song với $MC$ cắt cung tròn tại điểm $E$. Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$ bán kính $CE$.

 

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố $x,y,z,t$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=3t+1  &  & \\ y=2t^2+3  &  & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right.$$.

 

---HẾT---

 

Câu bất đẳng thức mà chuyển thành $12(x+y+z)$ thì có phải dễ hơn rồi không,hic 

Chém câu hình trước vậy 

6.

Gọi $G$ là giao của $BC$ với $AM$;$D$ là giao của $OC$ với $IE$;$F$ là giao của $OC$ với $(O)$.

Vì $OM$ vuông góc với $AC$ (tính chất tiếp tuyến) và $BC$ vuông góc với $AC$ suy ra $OM//BC$

có $O$ là trung điểm của $AB$ nên $M$ là trung điểm của $AG$

Lại có $CH//AG\Rightarrow \frac{IH}{AM}=\frac{CI}{MG}(=\frac{BI}{BM})(Thales)\Rightarrow IH=CI$ 

$MC//IE(gt)$ mà $MC$ vuông góc với $OC$ suy ra $IE$ vuông góc với $OC$ tại $D$

Ta có tam giác $CEF$ vuông tại $E$ suy ra $CE^{2}=CD.CF=2CD.CO(1)$

$\Delta CDI\sim \Delta CHO\Rightarrow \frac{CD}{CH}=\frac{CI}{CO}\Rightarrow CD.CO=CI.CH=\frac{1}{2}CH^{2}\Rightarrow 2.CD.CO=CH^{2}(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $CH=CE$ mà $CH$ vuông góc với $AB$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$ bán kính $CE$ (đpcm)

Câu 7 có sai đề không nhỉ,thấy cứ ''ảo ảo'' ấy =)))

[Dinh Xuan Hung]

 

Câu bất đẳng thức mà chuyển thành $12(x+y+z)$ thì có phải dễ hơn rồi không,hic 

 

 

Nói như em thì đơn giản quá còn gì chỉ cần áp dụng AM-GM thì ra luôn đề TB thì ko có chuyện đó

 

Nói chung năm nào TB cũng cho đề khá là xương tuy vậy cũng kết đề TB nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 20-12-2015 - 14:25

[hoctrocuaHolmes]

Nói như em thì đơn giản quá còn gì chỉ cần áp dụng AM-GM thì ra luôn đề TB thì ko có chuyện đó

 

Nói chung năm nào TB cũng cho đề khá là xương tuy vậy cũng kết đề TB nhất

Thế thì em chịu ạ,anh giải ra giúp cho bọn em.Em cũng công nhận đề Thái Bình rất hay và khó nữa 

 

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÁI BÌNH

 

Môn: TOÁN

 

Câu 2. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=ax+b (a\neq 0)$. Tìm $a$ và $b$ biết $(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ phân biệt sao cho $P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

---HẾT---

 

Chém nốt câu đồ thị 

$(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ nên $a+b=2$

Theo đề bài ta sẽ có $A(\frac{-b}{a};0);B(0;b)\Rightarrow OA=\frac{b}{a};OB=b\Leftrightarrow \frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}=\frac{a^{2}+1}{b^{2}}=\frac{(2-b)^{2}+1}{b^{2}}=\frac{b^{2}-4b+5}{b^{2}}=\frac{\frac{b^{2}}{5}+\frac{4}{5}b^{2}-4b+5}{b^{2}}=\frac{1}{5}+\frac{(2b-5)^{2}}{5b^{2}}\geq \frac{1}{5}$

Dấu ''='' xảy ra khi $b=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=\frac{-1}{2}$

Vậy...

[PlanBbyFESN]

Câu bđt xem hệ số 2 ở $\sum \frac{1}{a} hay \sum a$ vậy anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 20-12-2015 - 15:11

[PlanBbyFESN]

Em từng gặp 1 câu tương tự câu này:

Câu này em giải có chỗ khúc mắc, anh chỉ giúp:

Em đặt $\frac{1}{a}=x$ cho dễ nhìn ta có $\sum$x²=12 và x,y,z>0.

Chứng minh bài toán nhỏ: x+$\frac{2}{x}\geq 3+k(x^{2}-4)$

ở đây em chọn k là 2, qui đồng rồi phân tích nhân tử cái trên ta được 

BĐt tương đương: (2-x)(x+1)(2x+1)$\geq 0$  (*)

Cái này sẽ có khi giả sử x=min{x,y,z} $\Rightarrow$ x$\leq$2 suy ra đpcm rồi thay các biến vào bài sẽ cho kết quả.

Hiển nhiên thay vào sẽ có M$\geq 9+(x^{2}+y^{2}+z^{2}-12)=9$ (Dấu = là x=y=z=2 hay a=b=c=1/2)

Nhưng khúc mắc : chỗ (*) có thể thay vào bài mà không vướng vào$\sum x^{2}$ ; hay là em chọn k chưa hợp lí.

Em thấy nếu cho $\sum$x²số nhỏ hơn thì cách này dễ thực hiện hơn.

Anh chỉ giúp rồi có cách nào hay cho em tham khảo nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 21-12-2015 - 17:14

[Viet Hoang 99]

Câu 4. (2,0 điểm)
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

$GT\Rightarrow x,y,z>\dfrac{1}{\sqrt{12}}>\dfrac{1}{4}$

UCT
$\dfrac{1}{x}+2x-3-\dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{x^2}-4 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(4x-1)(2x-1)^2}{8x^2}\ge 0$ (Luôn đúng)
Tương tự cộng lại ta có đpcm.

 

 

Bài này xuất phát từ bài toán: Tìm min $P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ với $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.

Thay $(a;b;c)=\left ( \dfrac{1}{2x};\dfrac{1}{2y};\dfrac{1}{2z} \right)$ là có bài toán trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 22-12-2015 - 18:55

[PlanBbyFESN]

cái đó xét 2x+$\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}\left ( x^{2}-1 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 21-12-2015 - 17:18

[Viet Hoang 99]

cái đó xét 2x+$\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}\left ( x^{2}-1 \right )$

$\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-1)^2}{x}\le 0$ (SAI)

 

Từ giả thiết ta có $x,y,z>\dfrac{1}{\sqrt{12}}$ nên $4x-1>0$ nhé.

 

 

 

Câu 4. (2,0 điểm) 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

 

Cách 2:

 

Đặt $\left ( \dfrac{1}{2x};\dfrac{1}{2y};\dfrac{1}{2z} \right)=(a;b;c)$

 

Bài toán: Tìm min $P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ với $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.

AM-GM

$P\ge 3\sqrt[3]{(a+b+c)^2\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )}$

Có:

+ $3abc(a+b+c)\le (ab+bc+ca)^2$

$\Rightarrow P\ge 3\sqrt[3]{(a+b+c)^2.\dfrac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca}}=3\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)^3}{ab+bc+ca}}$

+ $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27}$

$\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\ge 9(ab+bc+ca)$

$P\ge 9$

Dấu = khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=\dfrac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 21-12-2015 - 17:38

[PlanBbyFESN]

không@: em nói là bài có a²+b²+c²=3 $\Rightarrow$ 0<a+b+c<$\sqrt{3}$

 

cái đó xét 2x+$\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}\left ( x^{2}-1 \right )$

 

nên BĐT $\Leftrightarrow$ $\frac{(2-x)(x-1)^{2}}{x}\geq 0$ luôn đúng nhé.

Anh xem lại đi...!

 

 

 

 

[Uchiha sisui]

Bài bất đẳng thức khá dễ  chọn điểm rơi là x=y=z=\frac{1}{2} . Sử dụng thêm Bất đẳng thức \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} Nên ta tách được M=\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + 4(x+y+z) - 2(x+y+z). Mà \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}+ \frac{1}{z^{2}} \geq \frac{9}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} =>

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{3}{4}

.(x^{2} + y^{2} + z^{2})(1+1+1) \geq  (x+y+z)^{2} ( BNS)

=>x+y+z \geq \frac{3}{2} 

=> M \geq 2\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})4(x+y+z)}  -2(\frac{3}{2}) =2\sqrt{9.4} -2.\frac{3}{2}=12-3=9

Min M=9 <=> x=y=z=\frac{1}{2}

[Longtunhientoan2k]

UCT
$\dfrac{1}{x}+2x-3-\dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{x^2}-4 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(4x-1)(2x-1)^2}{8x^2}\ge 0$ (Luôn đúng)
Tương tự cộng lại ta có đpcm

 Muốn làm UCT thì phải có x>1/4 chứ.Cái này phải viết ở đầu bài và suy ra từ giả thiết sao anh VIETHOANG ko nêu vì đây là điểm mấu chốt mà

[royal1534]

Bài bất đẳng thức khá dễ  chọn điểm rơi là $x=y=z=\frac{1}{2}$ . Sử dụng thêm Bất đẳng thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z}$ Nên ta tách được$ M=\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + 4(x+y+z) - 2(x+y+z). Mà \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}+ \frac{1}{z^{2}} \geq \frac{9}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} =>

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{3}{4}$

$.(x^{2} + y^{2} + z^{2})(1+1+1) \geq  (x+y+z)^{2}$ ( BNS)

$=>x+y+z \geq \frac{3}{2} $

$=> M \geq 2\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})4(x+y+z)}  -2(\frac{3}{2}) =2\sqrt{9.4} -2.\frac{3}{2}=12-3=9$

$Min M=9 <=> x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài bạn ngược dấu rồi.Mà đừng có bao giờ bảo đề Thái Bình dễ nha bạn 

[Uchiha sisui]

Ok cái phần kia là x+y+z \leq \frac{3}{2} phần sau đúng chỉ sai phần nhầm dấu

[nntien]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÁI BÌNH

 

Môn: TOÁN

 

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp là $r$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Biết rằng $\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{1}{r}$.

Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

 

 

---HẾT---

 

 

Goi đường cao tương ứng với cạnh $BC$ là: $AH$. $S$ là diện tích tam giác $ABC$.

Ta dễ thấy:

$\frac{S}{AM} \leq \frac{S}{AH}=\frac{BC}{2}$

Tương tự ta có:

$\frac{S}{BN} \leq \frac{AC}{2}$, $\frac{S}{CP} \leq \frac{AB}{2}$

Cộng vế theo vế ta được: 

$\frac{S}{AM} + \frac{S}{BN} + \frac{S}{CP} \leq p$, trong đó $p$ là nửa chu vi.

$\frac{1}{AM} + \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} \leq \frac{p}{S}=\frac{1}{r}$.

=> đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 20-02-2016 - 23:06