Cho a,b,c>0:
CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 20-12-2015 - 22:07
Cho a,b,c>0:
CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 20-12-2015 - 22:07
Cho a,b,c>0:
CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$
Ta có:
$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 20-12-2015 - 21:38
"Attitude is everything"
Ta có:
$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$
ukm
ukm
Mình sửa bài ở trên rồi đấy.
"Attitude is everything"
Ta có:
$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$
sao mà đặt a,b,c như z đc ???
Cho a,b,c>0:
CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$
Mình làm theo cách khác nha
Ta có:
$\dfrac{1+abc}{a(b+1)}=\dfrac{1+a+abc+ab-a-ab}{a(b+1)}=\dfrac{(1+a)+ab(1+c)-a(1+b)}{a(b+1)}=\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{b(1+c)}{1+b}-1$
Làm tương tự ta có: $\dfrac{1+abc}{b(c+1)}=\dfrac{1+b}{b(1+c)}+\dfrac{c(1+a)}{1+c}-1$
$\dfrac{1+abc}{c(a+1)}=\dfrac{1+c}{c(1+a)}+\dfrac{a(b+1)}{1+a}-1$
Áp dụng Cô-si có:
$\dfrac{1+abc}{a(b+1)}+\dfrac{1+abc}{b(c+1)}+\dfrac{1+abc}{c(a+1)}$
$=\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{b(1+c)}{1+b}-1+\dfrac{1+b}{b(1+c)}+\dfrac{c(1+a)}{1+c}-1+\dfrac{1+c}{c(1+a)}+\dfrac{a(b+1)}{1+a}-1$
$=[\dfrac{1+a}{a(1+b)}+\dfrac{a(b+1)}{1+a}]+[\dfrac{b(1+c)}{1+b}+\dfrac{1+b}{b(1+c)}]+[\dfrac{c(1+a)}{1+c}+ \dfrac{1+c}{c(1+a)}]-3 \geq 2\sqrt{\dfrac{1+a}{a(1+b)}.\dfrac{a(b+1)}{1+a}}+2\sqrt{\dfrac{b(1+c)}{1+b}.\dfrac{1+b}{b(1+c)}}+2\sqrt{\dfrac{c(1+a)}{1+c}. \dfrac{1+c}{c(1+a)}}-3 =2+2+2-3=3 $
=>$\dfrac{1+abc}{a(b+1)}+\dfrac{1+abc}{b(c+1)}+\dfrac{1+abc}{c(a+1)} \geq 3$
$<=>\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)} \geq \dfrac{3}{abc+1} (đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaotran19: 21-12-2015 - 16:35
Đừng bao giờ nghĩ rằng bạn đã biết tất cả mọi điều. Và dù người ta có đánh giá bạn cao đến đâu đi nữa, bạn vẫn phải luôn có dũng cảm tự nhủ: ta là một kẻ dốt nát. Đừng để lòng kiêu ngạo xâm chiếm lấy bạn. Vì nó bạn có thể bướng bỉnh ở chỗ cần phải tán thành, vì nó, bạn sẽ từ chối lời khuyên có ích và sự giúp đỡ thân ái, vì nó bạn sẽ mất mức độ khách quan.
Cho a,b,c>0:
CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$
$\sum_{cyc}\frac{1}{a(b+1)}-\frac{3}{1+abc}=\sum_{cyc}\frac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh