Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{(a-1)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b-1)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c-1)^{2}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
LinhNu

LinhNu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Cho a,b,c dương, abc=1. Chứng minh:

$\frac{a^{2}}{(a-1)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b-1)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c-1)^{2}}\geq 1$



#2
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

bài này đk đâu cần a,b,c dương cách đặt ẩn là đặt a=x^2/yz và bc tương tự và áp dụng bđt c-s là ra bài này mình có 3 cách giải

cách giải nè ra được net mới post hehe

đặt a=$\frac{x^{2}}{yz}$ và b,c tương tự như vật bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{(x^{2}}{yz})^{2}}{\frac{(x^{2}}{yz}-1)^{2}}\geq 1\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{(x^{2}-yz)^{2}}$

đến đây dùng C-S là được thôi là lớn hơn 1 nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 22-12-2015 - 11:05


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải.

Đặt $(\frac{a}{a-1},\frac{b}{b-1},\frac{c}{c-1})\rightarrow (x,y,z)$ thì $\left\{\begin{matrix}a=\frac{x}{x-1} & \\ b=\frac{y}{y-1} & \\ c=\frac{z}{z-1} & \end{matrix}\right.$ 

Ta cần chứng minh: $x^2+y^2+z^2\geqslant 1$

Từ đề bài suy ra $xyz=(x-1)(y-1)(z-1)\Rightarrow xy+yz+zx=x+y+z-1$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)=2(x+y+z)-2\Leftrightarrow (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)-2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z-1)^2+1\geqslant 1(\text{Q.E.D})$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh