Chủ đề này có 3 trả lời

[Thao Meo]

1) Cho x, y,z > 0 thỏa mãn xy+yz+xz=1 . Chứng minh 
$x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+ z(1-x^2)(1-y^2)\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}$
2) Cho a , b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc . Chứng minh 
$\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\leq \frac{3}{19}$

[Gachdptrai12]

ta có từ giả thuyết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

bđt trở thành $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}}\leq \frac{3}{19}$ áp dụng AM-GM ta có

$V\leq \sum \frac{1}{1+\frac{2}{xy}}$ $= \sum \frac{2}{2+xy}$(*)

$\frac{t}{t+2}-\frac{162}{361}t+\frac{1}{361}= -\frac{2(9t-1)^{2}}{361(t+2)}\leq 0$ 

$\Leftrightarrow \frac{t}{t+2}\leq \frac{162}{361}t+\frac{1}{361} $\Leftrightarrow$(*)\leq \frac{161}{361}(xy+yz+xz)+\frac{3}{361}\leq \frac{64}{361}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{361}= \frac{3}{19}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 22-12-2015 - 14:54

[anhminhnam]

Bài 1: Đặt $p=a+b+c;  q=ab+bc+ca=1;  r=abc$

Nhân ra phá ngoặc ta thu được BĐT tương đương: 

$VT=4r\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}<=>r\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Hiển nhiên vì  $1=q\geq 3\sqrt[3]{r^2}$ <=>$r\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 28-12-2015 - 23:17

[Gachdptrai12]

hì hì mình tìm ra cái số 162/361 mất mất triệu nơron rồi :v