Đến nội dung

Hình ảnh

C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên

số nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Chi Miu

Chi Miu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên



#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên

Đặt tử là $B$, mẫu là $C$

Ta có

$B= \frac{(2n)!}{n!}$

Theo định lý Langrange, ta có 

$v_p(x!)= [\frac{n}{p}\ + [\frac{n}{p^2}] + ...$

Áp dụng, ta có 

$v_2({2n}!) = [n] + [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$

$v_2({n}!)= [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$

do đó $v_2(B) = [n]= n $

Do đó $B$ chia hết cho $2^n$ ( điều phải chứng minh )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 23-12-2015 - 10:23


#3
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên

C2:

Với $n=1$ thì thỏa

Giả sử đúng với $n=k$, ta cần chứng minh đúng với $n=k+1$

Thật vậy, ta có 

$(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$=$ (k+1)...(2k) . (2k+1)(2k+2). \frac{1}{k+1}$

Ta có $(k+1)...(2k)$ chia hết cho  $2^k$   ( giả thiết quy nạp )   

          $(2k+1)(2k+2).\frac{1}{k+1}$ chia hết cho $2$ do $2k+2=2(k+1) $

Do đó $(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$ chia hết cho $2^{k+1}$

Vậy ta có điều phải chứng minh



#4
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên

 

Đặt tử là $B$, mẫu là $C$

Ta có

$B= \frac{(2n)!}{n!}$

Theo định lý Langrange, ta có 

$v_p(x!)= [\frac{n}{p}\ + [\frac{n}{p^2}] + ...$

Áp dụng, ta có 

$v_2({2n}!) = [n] + [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$

$v_2({n}!)= [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$

do đó $v_2(B) = [n]= n $

Do đó $B$ chia hết cho $2^n$ ( điều phải chứng minh )

 

C2:

Với $n=1$ thì thỏa

Giả sử đúng với $n=k$, ta cần chứng minh đúng với $n=k+1$

Thật vậy, ta có 

$(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$=$ (k+1)...(2k) . (2k+1)(2k+2). \frac{1}{k+1}$

Ta có $(k+1)...(2k)$ chia hết cho  $2^k$   ( giả thiết quy nạp )   

          $(2k+1)(2k+2).\frac{1}{k+1}$ chia hết cho $2$ do $2k+2=2(k+1) $

Do đó $(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$ chia hết cho $2^{k+1}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Các bạn làm gì mà phức tạp hóa vấn đề thế? Bài này đâu rắc rối như vậy?   :ukliam2: 

Ta có:

$A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}=\frac{1.2.3\cdots (2n-1)2n}{1.2.3\cdots n.2^n}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)](2.4.6\cdots 2n)}{2^n.n!}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)]n!.2^n}{2^n.n!}=1.3.5\cdots (2n-1)$ 

$\Rightarrow$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 25-12-2015 - 17:12

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#5
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Các bạn làm gì mà phức tạp hóa vấn đề thế? Bài này đâu rắc rối như vậy?   :ukliam2: 

Ta có:

$A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}=\frac{1.2.3\cdots (2n-1)2n}{1.2.3\cdots n.2^n}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)](2.4.6\cdots 2n)}{2^n.n!}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)]n!.2^n}{2^n.n!}=1.3.5\cdots (2n-1)$ 

$\Rightarrow$ đpcm.

Chẳng có gì phức tạp đâu bạn, đó đều là những hướng rất dễ suy nghĩ, kĩ thuật thì dùng không nhiều, còn cách của bạn khá thiên về kĩ thuật







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh