Chủ đề này có 4 trả lời

[taohandsome]

Giải giúp em 2 bài này ạ.

Chuỗi hội tụ hay phân kỳ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2 + cosn}{n+ lnn}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taohandsome: 23-12-2015 - 19:07

[An Infinitesimal]

Giải giúp em 2 bài này ạ.

Chuỗi hội tụ hay phân kỳ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2 + cosn}{n+ \ln{n}}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$

Chuỗi thứ nhất: Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương suy ra chuỗi thứ nhất phân kỳ.

Cụ thể 

 

$$\frac{2 + \cos{n}}{n+ \ln{n}}\ge \frac{1}{n}>0 \forall n\in \mathbb{N}.$$

(Vì $\ln{(n+1)}<n.$)

 

Chuỗi thứ hai:

 

Dùng BĐT $$e^{x}\ge x^{k}/k!.$$

Chọn $k=4$, ta có

$$\pi^n-n^{\pi} \ge e^n  n^3\ge n^4/4!-n^3= n^3(n/24-1) \ge n^3 \, \forall n \ge 48.$$

Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương, ta suy ra đươc

$$\sum_{n=48}^{\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$$ hội tụ.

 

Vì vậy  $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$ hội tụ.

[taohandsome]

Chuỗi thứ hai:

 

Dùng BĐT $$e^{x}\ge x^{k}/k!.$$

Chọn $k=4$, ta có

$$\pi^n-n^{\pi} \ge e^n  n^3\ge n^4/4!-n^3= n^3(n/24-1) \ge n^3 \, \forall n \ge 48.$$

Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương, ta suy ra đươc

$$\sum_{n=48}^{\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$$ hội tụ.

 

Vì vậy  $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$ hội tụ.

em dùng cách này có ổn không ạ

Ta có: $\pi ^{n}-n^{\pi }>1$ $\forall n\geqslant 1$

Suy ra $\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}<1$

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi này hội tụ

[An Infinitesimal]

em dùng cách này có ổn không ạ

Ta có: $\pi ^{n}-n^{\pi }>1$ $\forall n\geqslant 1$

Suy ra $\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}<1$

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi này hội tụ

Áp dụng không đúng! 

Điều cần chỉ ra là $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}=c<1$.

Ta có thể c/m được nhưng không phải nhu bên trên!

[vuliem1987]

Chú ý : Xét chuỗi Riemann  $\sum \frac{1}{n^{s}}$ , chuỗi phân kì khi  $s\leq 1$ còn hội tụ khi  $s> 1$

1/ Ở ý thứ nhất nên đánh giá sau thì tốt hơn (với BĐT  $\ln n< n$)  $\frac{2+cosn}{n+\ln n}> \frac{1}{2n}$ , vì  $cosn\rightarrow -1$

2/ Ở ý thứ 2 ta có thể dùng quy nạp chỉ ra BĐT sau  $\pi ^{n}> 2.n^{\pi }$  đúng với mọi  $n\geq 10$  .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 24-12-2015 - 17:10