Cho a,b,c $\epsilon$ N đồng thời thỏa mãn : $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=c.(a+b)+ab$ Chứng minh rằng 8c+1 là số chính phương
Cho a,b,c $\epsilon$ N thỏa mãn : $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=c.(a+b)+ab$ Chứng minh rằng 8c+1 là số chính phương
#1
Đã gửi 23-12-2015 - 20:44
#2
Đã gửi 01-01-2016 - 01:51
Cho a,b,c $\epsilon$ N đồng thời thỏa mãn : $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=c.(a+b)+ab$ Chứng minh rằng 8c+1 là số chính phương
Điều kiện đề bài $\Rightarrow (2c)^2=(a+c)(b+c)$. Gọi $d=\gcd(a+c,b+c)$ thì do $a-b=p\in\mathbb{P}$ nên $d=1$ hoặc $d=p$
Nếu $d=1$ thì $a+c=x^2,b+c=y^2$ ( $xy=2c$)
$\Rightarrow p=(x-y)(x+y)$. $p=2$ thì vô lý. $p$ lẻ thì dễ thấy $x=\frac{p+1}{2}=\frac{a-b+1}{2}$ và $y=\frac{a-b-1}{2}$
$\Rightarrow 2c=xy=\frac{(a-b-1)(a-b+1)}{4}\Rightarrow 8c+1=(a-b)^2$ là scp
Nếu $d=p$ thì $a+c=pm^2,b+c=pn^2$ ( $2c=pmn$)
$\Rightarrow (m-n)(m+n)=1\rightarrow m=1,n=0$ (loại)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 01-01-2016 - 01:52
- PlanBbyFESN, Trung Kenneth, Lao Hac và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh