Chủ đề này có 1 trả lời

[onepiecekizaru]

cho a,b,c là ba số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}=c^{2}$

chứng minh rằng $n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-12-2015 - 16:33

[Chris yang]

cho a,b,c là ba số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}=c^{2}$

chứng minh rằng $n=1$

Giả sử $n>1$

TH1: $n$ lẻ thì $a+b|c^2$.Do $c\in\mathbb{P}$ nên $a+b=c$ hoặc $a+b=c^2$

+) Nếu $a+b=c$. Ta có  $c^2\geq a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}=\frac{c^3}{4}\Rightarrow c\leq 4$. Ta thu được $c=2,3$. Thử lại pt ban đầu ta thấy $n=1$

+) Nếu $a+b=c^2$ thì hiển nhiên $n=1$ 

 

TH2: $n$ chẵn . Gọi $n=2t$. Hiển nhiên $c>a,b$, $a,b,c\in\mathbb{P}$ nên $c$ lẻ, do đó tồn tại một trong hai số $a,b$ chẵn. G/s $a$ chẵn $\rightarrow a=2$

Ta có $2^{n}=(c-b^t)(c+b^t)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c-b^t=2^x\\ c+b^t=2^y\end{matrix}\right.(x+y=n)$

$\Rightarrow 2b^t=2^x(2^{y-x}-1)$. $b$ lẻ nên $x=1$. Khi đó $b^t=4^{t-1}-1\vdots 3\Rightarrow b=3$. Thay vào $3^t=4^{t-1}-1$

Theo LTE: $t=1+v_3(t-1)\Leftrightarrow t-1=v_3(t-1)$ hiển nhiên vô lý $(2)$

Từ 2TH trên ta có điều g/s sai, hay $n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 29-12-2015 - 03:41