Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant 8$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$ \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$

#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$ \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$

Do $a+b+c=1 => b+c=1-a$

Ta thiết lập các đẳng thức tương tự

Ta chứng minh

$ \frac{(a+1)^2}{3a^2 -2a+1} \leq 4a + \frac{4}{3} <=> (3a-1)^2 (4a+1) \geq 0$

Cộng theo vế, ta được

VT $\leq  4(a+b+c) +4 =8$ Điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 25-12-2015 - 18:32


#3
vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đây là hệ quả BĐT MO-USA-2003 với giả thiết đã chuẩn hóa a + b + c = 1 và khi đưa về 1 biến thì dùng phương pháp tiếp tuyến, hoặc phương pháp ước lượng theo giả thiết. Bạn đọc có thể tham khảo các chuyên đề chứng minh BĐT bằng đạo hàm, phương pháp tiếp tuyến, hay xét hàm đặc trưng khi cm BĐT trên tạp chí THTT,... để củng cố kiến thức về phần này.

Có thể chuẩn hóa (Tức giả sử a + b + c = 1 hoặc a + b + c = 3 tùy bài sau đó dùng ước lượng hoặc tiếp tuyến để chứng minh thêm)

1/ Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.

Chứng minh rằng $6\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )+\frac{1}{8}$

2/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh  $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq \frac{9}{10}$

Bài này cần chuyển về dạng xuất hiện bt chứa a+b; b+c; c+a đã rồi mới thay giả thiết vào.

3/ Cho a, b, c > 0. Chứng minh 

$\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{5}$

$\sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$

.......................


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 25-12-2015 - 20:15


#4
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Đây là hệ quả BĐT MO-USA-2003 với giả thiết đã chuẩn hóa a + b + c = 1 và khi đưa về 1 biến thì dùng phương pháp tiếp tuyến, hoặc phương pháp ước lượng theo giả thiết. Bạn đọc có thể tham khảo các chuyên đề chứng minh BĐT bằng đạo hàm, phương pháp tiếp tuyến, hay xét hàm đặc trưng khi cm BĐT trên tạp chí THTT,... để củng cố kiến thức về phần này.

Có thể chuẩn hóa (Tức giả sử a + b + c = 1 hoặc a + b + c = 3 tùy bài sau đó dùng ước lượng hoặc tiếp tuyến để chứng minh thêm)

1/ Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.

Chứng minh rằng $6\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )+\frac{1}{8}$

2/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh  $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq \frac{9}{10}$

Bài này cần chuyển về dạng xuất hiện bt chứa a+b; b+c; c+a đã rồi mới thay giả thiết vào.

3/ Cho a, b, c > 0. Chứng minh 

$\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{5}$

$\sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$

.......................

Bài 1 có ở đây này!



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta cần chứng minh: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh