Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $\sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant 8$
#1
Đã gửi 25-12-2015 - 17:10
$ \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$
#2
Đã gửi 25-12-2015 - 18:32
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$ \frac{(a+1)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(b+1)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(c+1)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$
Do $a+b+c=1 => b+c=1-a$
Ta thiết lập các đẳng thức tương tự
Ta chứng minh
$ \frac{(a+1)^2}{3a^2 -2a+1} \leq 4a + \frac{4}{3} <=> (3a-1)^2 (4a+1) \geq 0$
Cộng theo vế, ta được
VT $\leq 4(a+b+c) +4 =8$ Điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 25-12-2015 - 18:32
- Minhnguyenthe333 yêu thích
#3
Đã gửi 25-12-2015 - 20:13
Đây là hệ quả BĐT MO-USA-2003 với giả thiết đã chuẩn hóa a + b + c = 1 và khi đưa về 1 biến thì dùng phương pháp tiếp tuyến, hoặc phương pháp ước lượng theo giả thiết. Bạn đọc có thể tham khảo các chuyên đề chứng minh BĐT bằng đạo hàm, phương pháp tiếp tuyến, hay xét hàm đặc trưng khi cm BĐT trên tạp chí THTT,... để củng cố kiến thức về phần này.
Có thể chuẩn hóa (Tức giả sử a + b + c = 1 hoặc a + b + c = 3 tùy bài sau đó dùng ước lượng hoặc tiếp tuyến để chứng minh thêm)
1/ Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
Chứng minh rằng $6\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )+\frac{1}{8}$
2/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq \frac{9}{10}$
Bài này cần chuyển về dạng xuất hiện bt chứa a+b; b+c; c+a đã rồi mới thay giả thiết vào.
3/ Cho a, b, c > 0. Chứng minh
$\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{5}$
$\sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
.......................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 25-12-2015 - 20:15
- Minhnguyenthe333 yêu thích
#4
Đã gửi 25-12-2015 - 21:11
Đây là hệ quả BĐT MO-USA-2003 với giả thiết đã chuẩn hóa a + b + c = 1 và khi đưa về 1 biến thì dùng phương pháp tiếp tuyến, hoặc phương pháp ước lượng theo giả thiết. Bạn đọc có thể tham khảo các chuyên đề chứng minh BĐT bằng đạo hàm, phương pháp tiếp tuyến, hay xét hàm đặc trưng khi cm BĐT trên tạp chí THTT,... để củng cố kiến thức về phần này.
Có thể chuẩn hóa (Tức giả sử a + b + c = 1 hoặc a + b + c = 3 tùy bài sau đó dùng ước lượng hoặc tiếp tuyến để chứng minh thêm)
1/ Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
Chứng minh rằng $6\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right )+\frac{1}{8}$
2/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq \frac{9}{10}$
Bài này cần chuyển về dạng xuất hiện bt chứa a+b; b+c; c+a đã rồi mới thay giả thiết vào.
3/ Cho a, b, c > 0. Chứng minh
$\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{5}$
$\sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
.......................
Bài 1 có ở đây này!
#5
Đã gửi 08-05-2021 - 19:38
Ta cần chứng minh: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant 8$
Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh