Cho các số thực a, y, z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Cho các số thực a, y, z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
#1
Đã gửi 25-12-2015 - 17:39
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#2
Đã gửi 25-12-2015 - 17:55
Đặt $t=a+b+c$.Từ giả thiết ta có:Cho các số thực a, y, z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
$t^2+2t-12=x^2+y^2+z^2$
$18-3t=3(xy+yz+zx)\leqslant t^2<=>(t-3)(t+6)\geqslant 0<=>t\geqslant 3$
BĐT$<=>t^2+2t-12\geqslant 3<=>(t-3)(t+5)\geqslant 0<=>t\geqslant 3$ (cmt)
=>ĐPCM.Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
- manhhung2013 và Kagome thích
#3
Đã gửi 25-12-2015 - 18:23
Cho các số thực a, y, z thỏa mãn x+y+z+xy+yz+zx=6. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Đơn giản, chỉ cần đánh giá 2 lần là ra
Sử dụng AM-GM, ta có
$ (x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2) => x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
$xy+yz +xz \leq x^2+y^2+z^2$
Cộng theo vế, ta được
$6=x+y+z+xy+yz+xz \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} + x^2+y^2+z^2$
Suy ra $x^2+y^2+z^2 \geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 25-12-2015 - 18:24
- manhhung2013 yêu thích
#4
Đã gửi 25-12-2015 - 18:50
$Theo AM-GM ta có:
$x^2+1\geq 2x ; y^2+1\geq 2y;z^2+1\geq 2z$
và $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ => $ 2.(x^2+y^2+z^2) \geq 2.(xy+yz+zx)$
=> $3.(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2.(x+y+z+xy+yz+zx)$
=>$3.(x^2+y^2+z^2)+3\geq 12$
=> $x^2+y^2+z^2\geq 3$
=>đpcm$
- manhhung2013 yêu thích
#5
Đã gửi 21-07-2017 - 14:24
Đơn giản, chỉ cần đánh giá 2 lần là ra
Sử dụng AM-GM, ta có
$ (x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2) => x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
$xy+yz +xz \leq x^2+y^2+z^2$
Cộng theo vế, ta được
$6=x+y+z+xy+yz+xz \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} + x^2+y^2+z^2$
Suy ra $x^2+y^2+z^2 \geq 3$
chưa dùng AM GM đc. số thực mà
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh