Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math Hero

Math Hero

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Đức Mẫu
  • Sở thích:Yêu toán như yêu chính bản thân mình

Đã gửi 25-12-2015 - 22:17

Cho dãy số thực $(U_{n})$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_{1} =\frac{-2}{5}& \\ 25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10} & \end{matrix}\right.$, $n\geq 1$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$



#2 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 07-09-2021 - 16:50

Cho dãy số thực $(U_{n})$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_{1} =\frac{-2}{5}& \\ 25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10} & \end{matrix}\right.$, $n\geq 1$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$

 

 

$25u_{n+1}u_{n}+15u_{n+1}+15u_{n}+10=\sqrt{25u_{n}^{2}+30u_{n}+10}$

 

$\Leftrightarrow (5u_{n+1}+3)(5u_n+3)+1=\sqrt{(5u_n+3)^2+1}$

 

Đặt $v_n=5u_n+3$ ta có $v_1=5u_1+3=1$ và $v_{n+1}v_n+1=\sqrt{v_{n}^2+1}$

 

Bình phương 2 vế và biến đổi ta được $v_n=\frac{2v_{n+1}}{1-v_{n+1}^2}$

 

Ta thấy $v_1=1=tan\frac{\pi}{4}$ và $v_2=\sqrt{2}-1=tan\frac{\pi}{8}$

 

Nên bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được $v_n=tan\frac{\pi}{2^{n+1}}$

 

suy ra  $u_n=\frac{tan\frac{\pi}{2^{n+1}}}{5}-\frac{3}{5}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh