Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{b^{5}}{c^{3}+a^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{3}+b^{2}}+a^{4}+b^{4}+c^{4}$

[quoccuonglqd]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\rightarrow ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq 3,ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 3,a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

$\rightarrow M+3\geq \sum (\frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{a(b^{3}+c^{2})}{4}+\frac{1}{2})+\sum a^{4}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+3$

$\rightarrow M\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}=\frac{9}{2}$

[Tran Thanh Truong]

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\rightarrow ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq 3,ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 3,a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

 

Cụ thể chỗ này là thế nào bạn?

[quanganhthanhhoa]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \sqrt{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(a^{2}+b^2+c^2)}\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^{2}}{3}.3}=3;a^{2}+b^2+c^2\leq \sqrt{3(a^{4}+b^4+c^4)}\Leftrightarrow 3\leq \sqrt{3(a^{4}+b^4+c^4)}\Leftrightarrow a^{4}+b^4+c^4\geq 3$

[louisdang]

a2+b2+c2=3→ab3+bc3+ca3≤3

Ai đó giải thích cho mình đoạn này được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi louisdang: 16-06-2021 - 10:57