Đến nội dung

Hình ảnh

GTNN của $P=1-xy$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ngobaochau1704

ngobaochau1704

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

Tìm GTNN của $P=1-xy$, trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$



#2
vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

TH1 : Nếu x, y trái dấu thì  $xy< 0\Rightarrow P> 1$

TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng

KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$

KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra  $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra  $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 29-12-2015 - 22:37


#3
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

TH1 : Nếu x, y trái dấu thì  $xy< 0\Rightarrow P> 1$

TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng

KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$

KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra  $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra  $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............

trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:

$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$


haizzz

#4
vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:

$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$

Uh, rất tốt, đó là điều nên nghĩ sau khi sử dụng AM-GM cho quá nhiều số.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh