cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa abcd=1
c/m $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}+\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 11:15
cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa abcd=1
c/m $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}+\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 11:15
cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa abcd=1
c/m $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}+\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$
Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+a)^{3}\leq (1+1)(1+\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}})(1+ab\sqrt{ab})$
Suy ra: $\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{b\sqrt{b}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$
Tương tự, suy ra: $\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{a\sqrt{a}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$
Cộng lại ta có: $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}$
Thiết lập BĐT tương tự với $c$ và $d$, cộng lại ta có:
$VT\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{1}{2(1+cd\sqrt{cd})}=\frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{ab\sqrt{ab}}{2(ab\sqrt{ab}+1)}=\frac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Có thể giải theo cách dài hơn như sau :
Bổ đề 1 : Cho x, y dương ta có $\left ( x^{3}+y^{3} \right )\geq \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )$
Bổ đề 2 : x, y dương ta có $\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y+1 \right )^{2}}\geq\frac{1}{xy+1}$
Tiếp theo, không giảm tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq d$ . Khi đó
$VT\geq \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{ab+1}\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right )+\frac{1}{cd+1}\left ( \frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1} \right ) \right ]$ $\geq \frac{1}{2}$
Chứng minh trực tiếp và chú ý giả thiết abcd = 1.
Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+a)^{3}\leq (1+1)(1+\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}})(1+ab\sqrt{ab})$
Suy ra: $\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{b\sqrt{b}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$
Tương tự, suy ra: $\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{a\sqrt{a}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$
Cộng lại ta có: $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}$
Thiết lập BĐT tương tự với $c$ và $d$, cộng lại ta có:
$VT\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{1}{2(1+cd\sqrt{cd})}=\frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{ab\sqrt{ab}}{2(ab\sqrt{ab}+1)}=\frac{1}{2}$Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$
Kinh khủng quá
Sử dụng BĐT Holder ta có:
$4(\sum \frac{1}{(1+a)^3})^2\geq (\sum \frac{1}{(1+a)^2})^3$
Lại có: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(a+b)(a+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+b)(b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{cd}}=\frac{cd}{1+cd}$
Tương tự: $\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\geq \frac{1}{1+cd}$
Từ đó suy ra ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 30-12-2015 - 18:16
okok cảm ơn 2 bạn đã góp cho mình 2 lời giải rất thú vị mình xin đăng cách giải của mình :v ))
ta dùng 1 bổ đề quan trong sau $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$ bổ đề này chỉ cần tương đương là ra thôi nên mình ko cần dài dòng nhỉ
áp dụng bđt AM-GM ta có
$2\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2(1+a)^{2}}$ tương tụ cho b,c,d
ta có 1 bđt mới cần chứng minh$\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}\geq 1$
ta có theo bổ đề $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$
tương tự cho c và d
ta có đẳng thức sau $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=\frac{ab+cd+2}{ab+cd+abcd+1}=1$ Q.E.D
cách của Hoang Nhat Tuan kinh khủng chẳng kém @@ :v ))
p/s China TST 2004 đó mình chém ra bài này đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 18:27
Kinh khủng quá
Sử dụng BĐT Holder ta có:
$4(\sum \frac{1}{(1+a)^3})^2\geq (\sum \frac{1}{(1+a)^2})^3$
Lại có: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(a+b)(a+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+b)(b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{cd}}=\frac{cd}{1+cd}$
Tương tự: $\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\geq \frac{1}{1+cd}$
Từ đó suy ra ĐPCM
Thực ra lúc đầu mình cũng làm cách này, cơ mà thấy ko hay lắm nên làm trực tiếp bậc 3 luôn.
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh