Đến nội dung


Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ di động trên đoạn $BC$. Đường tròn đường kính $AM$ cắt $AB,AC$ ở $P,Q$. Tiếp tuyến của nó tại $P,Q$ cắt nhau ở �


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Khách- thachpbc_*

Khách- thachpbc_*
  • Khách

Đã gửi 12-05-2006 - 17:08

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ di động trên đoạn $BC$. Đường tròn đường kính $AM$ cắt $AB,AC$ ở $P,Q$. Tiếp tuyến của nó tại $P,Q$ cắt nhau ở $T$. Tìm quĩ tích $T$ khi $M$ di động

#2 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2013 - 14:43

BTTT1.JPG
Quỹ tích điểm T là đoạn thẳng IJ nhưng để cm được điều này với kiến thức THCS quả là khó.
Theo như mình biết thì lời giải của BT dường như là rất đơn giản khi ta sử dụng tới phép biến hình là Phép nghịch đảo:
- Ta có quỹ tích tâm X của đường tròn đường kính AM là đoạn thẳng YZ với Y và Z lần lượt là trung điểm của AB và AC.
- Suy ra quỹ tích trung điểm V của đoạn thẳng PQ là đoạn thẳng LN với N và L lần lượt là trung điểm của BH và CG trong đó H và G theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.
- Và hơn nữa cũng suy ra quỹ tích điểm T là đoạn thẳng IJ trong đó IG, IC là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC và JH, JB là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Mình không làm được mà chỉ vẽ hình và nói mạnh mồm thế thôi.^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 01-01-2013 - 15:13


#3 tuanbi97

tuanbi97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-01-2013 - 17:52

Theo mình thì làm thế này:
Vẽ thêm: Gọi $I$ là giao điểm 2 tiếp tuyến tại P,Q của $\left ( O,AM/2 \right )$
vẽ đường cao $CK,BJ$;
Vẽ $PM$ cắt $AC$ ở $F$, $QM$ cắt $AB$ ở $E$
Từ $B$ vẽ vuông góc $AB$ cắt $AC$ ở $N$, Từ $C$ vẽ vuông góc $AC$ cắt $AB$ ở $H$
Gọi $T,L$ lần lượt là trung điểm $CH,BN$
$BT$ cắt $EM$ ở $D$, $CL$ cắt $FM$ ở $G$
***Phần thuận:
Ta có $TL$ luôn cố định, vậy bài toán chuyển về Chứng minh $T,I,L$ thẳng hàng:
Đầu tiên : * Chứng Minh : $E,I,F$ thẳng hàng:
Gọi giao điểm $I'$ là trung điểm $EF$:
Ta có: $M$ trực tâm $\Delta AEF$;
vậy nhận ra CMĐ: $I'$ cũng là giao điểm tiếp tuyến tại $P,Q => I$ trùng $I'$ (Phần này không khó nên mình làm vắn tắt )
Vậy $E,I,F$ thẳng hàng đồng thời $I$ là trung điểm $EF$
* Chứng minh: $D$ trung điểm $EM$
Có $T$ trung điểm $CH=> ED/TH=DM/TC=BD/TB=> ED=DM$;
CMTT: $G$ trung điểm $MF$;
* Chứng minh :$DMGI$ là hình bình hành
$D$ trung điểm $EM$, $I$ trung điểm $EF$ => $DI//MF$,
CMTT$=> GI//DM$
vậy $DMGI$ là hình bình hành
Gọi $I''$ là giao điểm $TL$ và $DI$
=> $TI''/I''L=TD/BD=CM/BM=CG/GL$(talet :D) =>$GI''//CT(Talet đảo)=> I''$ giao điểm $DI$ và $GI=> i''$ trùng $I$=> $T,I,L$ thẳng hàng (dpcm) (Sorry hơi tắt, nếu sai mong các bạn góp ý :D)
*** Giới hạn là I nằm trên đoạn thẳng TL
*** Phần đảo mình sẽ bổ sung sau: :D (Tương tự)

Hình gửi kèm

  • PSW.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanbi97: 02-01-2013 - 18:45


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:28

Chấm bài
tuanbi97: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh