Bài 18 : Tìm $n$ nguyên dương sao cho $(n-1)! \vdots n$
$n=1$ thì thỏa mãn
$n$ không thể là số nguyên tố. Thật vậy nếu ngược lại thì số mũ cao nhất lũy thừa $n$ trong $(n-1)!$ là phần nguyên của $\frac{n-1}{n}=0$
vô lý
$n$ là hợp số:
TH1: $n=p^k.t$ với $p$ là ước nguyên tố của $n$ và $t>1$. Khi đó: $n-1 \geq p^k$
Số mũ cao nhất của $p$ trong PTNT của $(n-1)!$ là
$\left \lfloor \frac{n-1}{p} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{p^2} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{p^2} \right \rfloor+..+\left \lfloor \frac{n-1}{p^k} \right \rfloor \geq 1+1+1...+1=k$
Do đó: $(n-1)!$ chia $n$ với mọi $n=p^k.t$ và $t>1$
TH2: $n=p^k $ .
Với $p>2$ ta có: $\Rightarrow n-1=p^k-1 \geq p^2 - 1 \geq 2p$
nên $\left \lfloor \frac{n-1}{p} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{p^2} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{p^2} \right \rfloor+..+\left \lfloor \frac{n-1}{p^{k-1}} \right \rfloor \geq 2+1+1..+1 =k$
. Do đó: $(n-1)!$ chia hết cho $n$
Với $p=2$ thì xét 2 khả năng:
KN1: $k=2$ không thỏa mãn
KN2: $k>2$ thì $n-1=2^k-1 >4$ nên $\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor >2 $
Tương tự suy ra : $\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{2^2} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n-1}{2^3} \right \rfloor+..+\left \lfloor \frac{n-1}{2^{k-1}} \right \rfloor \geq 2+1+1..+1 =k$
Do đó: $(n-1)! $ chia hết cho $n$
Vậy với $n=1$ hoặc $n$ là hợp số lớn hơn 4 thì thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 03-01-2016 - 09:10