Chủ đề này có 10 trả lời

[cothomex]

Mong mn giúp đỡ ạ

1) cho hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix} & x^2+x+1+e^{3x} \quad x\in \textbf{R}-\mathbf{Q}\\ &1 \quad x\in\mathbf{Q} \end{matrix}\right.$

chứng minh f khả tích Lebesgue nhưng không khả tích Rienman

Tính tích phân Lebesgue của f trên [0,1]

2)

cho$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0\quad x\notin [0,1)& \\ \sqrt{n} \quad x\in \mathit{A_n}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \end{matrix}\right.$

ta đặt $f_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\chi _A_n$

a)chứng minh $f_n$ tăng tới f

b)chứng mnh f khả tích trên R và tính $\int_{\mathbb{R}}fd\mu$ ở đó $\mu$ là độ đo lebesgue trên $\mathbb{R}$

c)chứng minh $f^{2}$ không khả tích trên  $\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cothomex: 01-01-2016 - 23:12

[An Infinitesimal]

Mong mn giúp đỡ ạ

1) cho hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix} & x^2+x+1+e^{3x} \quad x\in \textbf{R}-\mathbf{Q}\\ &1 \quad x\in\mathbf{Q} \end{matrix}\right.$

chứng minh f khả tích Lebesgue nhưng không khả tích Rienman

Tính tích phân Lebesgue của f trên [0,1]

2) 

cho $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0\quad x\notin [0,1)& \\ \sqrt{n} \quad x\in \mathit{A_n}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \end{matrix}\right.$

ta đặt $f_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\chi _{A_n}$

a)chứng minh $f_n$ tăng tới f

b)chứng mnh f khả tích trên R và tính $\int_{\mathbb{R}}fd\mu$ ở đó $\mu$ là độ đo lebesgue trên $\mathbb{R}$

c)chứng minh $f^{2}$ không khả tích trên  $\mathbb{R}$

 

 

Bài 1: Xét tính khả tính L và R trên $[0,1]$ phải không?

Hàm số không liên tục tại $x$ bất kỳ trong khoảng $[0,1]$. Do đó hàm số không  khả tích Riemann.

Vì $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ có độ đo không nên hàm đo được $f(x)= x^2+x+1+e^{3x}$ hầu khắp nơi và $g(x)=x^2+x+1+e^{3x}$ khả tích Riemann trên $[0,1]$ nên $f$ khả tích L trên đó.

 

$$\int_{[0,1]}fd\mu = \int_{[0,1]} (x^2+x+1+e^{3x})d\mu= \int_{0}^{1} (x^2+x+1+e^{3x})dx = \frac{e^3}{3}+\frac{3}{2}.$$ (Tích phân sau cùng là tích phân Riemann)

 

Bài 2: Có lẽ bạn gõ hàm $f_n$ sai. Có lẽ là $f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}\chi _{A_k}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 02-01-2016 - 13:43

[cothomex]

bài 2 mình chép nguyên trong đề là như thế

đối với bài tập tính tích phân lebesgue như sau bạn giải giúp mình với

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}(e^{x}-1)+1\quad x\in\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q} & \\ xsin^{2}x+1 \quad x\notin\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q} \end{matrix}\right.$$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}(e^{x}-1)+1\quad x\in\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q} & \\ xsin^{2}x+1 \quad x\notin\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q} \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng f là khả tích lebesgue nhưng không khả tích Rienman. Tính tích phân (L)$\int_{\left [ 0,1 \right ]}fd\mu$

[An Infinitesimal]

 

bài 2 mình chép nguyên trong đề là như thế

 

 

Nếu vậy $\int_{[0,1]}f_nd\mu = \frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{k}=\infty.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 03-01-2016 - 01:14

[cothomex]

Bạn ơi bạn lý giải giúp mình biểu thức tính tích phân ở trên với.

[An Infinitesimal]

Bạn ơi bạn lý giải giúp mình biểu thức tính tích phân ở trên với.

 

 

 

 

2)

cho$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0\quad x\notin [0,1)& \\ \sqrt{n} \quad x\in \mathit{A_n}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \end{matrix}\right.$

ta đặt $f_n(x)=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{k}\right)\chi _{A_n}$

 

 

Suy ra 

 

 

 

 

Nếu vậy $\int_{[0,1]}f_nd\mu = \frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{k}=\infty.$

 

[cothomex]

vậy thì khả năng là đề sai bạn ah. Vậy nếu như thay là chỉ số n là k thì bài trên sẽ giải như thế nào bạn

[An Infinitesimal]

 

 

 

 

Bài 2: Có lẽ bạn gõ hàm $f_n$ sai. Có lẽ là $f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}\chi _{A_k}.$

 

 

Với mỗi $ x\in (0,1).$  tồn tại n: $x\in A_n$, khi đó $f_k(x)=\sqrt{n} =f(x) \forall k \ge n$, dễ thấy $\{f_n(x)\}$ là dãy tăng với mỗi $x$ cố định. Suy ra a)

 

b) Dùng ĐL hội tụ đơn điệu, ta có

$$\int_{\mathbb{R}}fd\mu = \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_nd\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}<\infty.$$

c) Ta có 

$$\int_{\mathbb{R}}f^2d\mu = \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_n^2d\mu = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)}=\infty.$$ Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 04-01-2016 - 21:09

[cothomex]

Bạn ơi cho mình hỏi là phần này bạn học như thế nào đấy. Mình tuy hiểu lý thuyết song lại không giải được bài tập. Nhưng khi đọc giải thì vẫn hiểu một chút nhưng hơi máy móc

[An Infinitesimal]

Bạn ơi cho mình hỏi là phần này bạn học như thế nào đấy. Mình tuy hiểu lý thuyết song lại không giải được bài tập. Nhưng khi đọc giải thì vẫn hiểu một chút nhưng hơi máy móc

 

Bạn thử liên kết bài toán với các kết quả cơ bản xem sao. Bài tập là một thể hiện nhỏ của nội dung lý thuyết.

[nhan1996]

Bạn ơi cho mình hỏi là phần này bạn học như thế nào đấy. Mình tuy hiểu lý thuyết song lại không giải được bài tập. Nhưng khi đọc giải thì vẫn hiểu một chút nhưng hơi máy móc

Thế thì bạn phải xem mình hiểu lý thuyết như thế nào đã?? Là bạn hiểu nó một cách máy móc hay đã nắm được bản chất của các khái niệm, định lý?? Nếu chỉ hiểu máy móc thì khi làm bài sẽ gặp nhiều khó khăn.