Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $f(x)\neq 0,\forall x \in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Cho hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và khác hàm hằng thỏa:

$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2, \forall x \in \mathbb{R}$

Chứng minh: $f(x)\neq 0,\forall x \in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 02-01-2016 - 15:23

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Cho hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và khác hàm hằng thỏa:

$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2, \forall x \in \mathbb{R}$

Chứng minh: $f(x)\neq 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Chứng ta còn có thể tìm ra $f(x)$ luôn kìa bạn, chứng minh cũng khá dài

Và bài này là 1 bổ đề quan trọng để tìm hàm $f$

Mình xin chứng minh bổ đề này

Thay $x=0,y=0 => f^4(0)=f^2(0) => f(0)=0 ; f^2(0)=1$

TH1: $f(0)=0$, thay $y=0 => f(2x) =0 => f(x)=0 $ ( vô lý )

TH2: $f^2(0)=1$

Giả sử $\exists x_0: f(x_0)=0 $

Ta có $f(2x).f(0)=f^4(x)=> f(x).f(0)=f^4(\frac{x}{2})$

Thay $x \rightarrow x_0 => f^4(\frac{x_0}{2}) =0 => f(\frac{x_0}{2})=0$

Đẩy liên tục $=> f(\frac{x_0}{2^k})=0 $

Cho k cực lớn $=> f(0)=0 $ (vô lý )

Do đó $f(x) \neq 0, \forall x \in \mathbb{R} $



#3
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Chứng ta còn có thể tìm ra $f(x)$ luôn kìa bạn, chứng minh cũng khá dài

Và bài này là 1 bổ đề quan trọng để tìm hàm $f$

Mình xin chứng minh bổ đề này

Thay $x=0,y=0 => f^4(0)=f^2(0) => f(0)=0 ; f^2(0)=1$

TH1: $f(0)=0$, thay $y=0 => f(2x) =0 => f(x)=0 $ ( vô lý )

TH2: $f^2(0)=1$

Giả sử $\exists x_0: f(x_0)=0 $

Ta có $f(2x).f(0)=f^4(x)=> f(x).f(0)=f^4(\frac{x}{2})$

Thay $x \rightarrow x_0 => f^4(\frac{x_0}{2}) =0 => f(\frac{x_0}{2})=0$

Đẩy liên tục $=> f(\frac{x_0}{2^k})=0 $

Cho k cực lớn $=> f(0)=0 $ (vô lý )

Do đó $f(x) \neq 0, \forall x \in \mathbb{R} $

Mình còn thiếu bước này để tìm f, ngay sau khi đăng topic mình cũng đã cm được. Dù sao cũng cảm ơn bạn.


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh