Cho hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và khác hàm hằng thỏa:
$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2, \forall x \in \mathbb{R}$
Chứng minh: $f(x)\neq 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Chứng ta còn có thể tìm ra $f(x)$ luôn kìa bạn, chứng minh cũng khá dài
Và bài này là 1 bổ đề quan trọng để tìm hàm $f$
Mình xin chứng minh bổ đề này
Thay $x=0,y=0 => f^4(0)=f^2(0) => f(0)=0 ; f^2(0)=1$
TH1: $f(0)=0$, thay $y=0 => f(2x) =0 => f(x)=0 $ ( vô lý )
TH2: $f^2(0)=1$
Giả sử $\exists x_0: f(x_0)=0 $
Ta có $f(2x).f(0)=f^4(x)=> f(x).f(0)=f^4(\frac{x}{2})$
Thay $x \rightarrow x_0 => f^4(\frac{x_0}{2}) =0 => f(\frac{x_0}{2})=0$
Đẩy liên tục $=> f(\frac{x_0}{2^k})=0 $
Cho k cực lớn $=> f(0)=0 $ (vô lý )
Do đó $f(x) \neq 0, \forall x \in \mathbb{R} $