Cho các số thực $x,y$ sao cho $x^{2}+y^{2}-xy=1$
CM $x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2} \geq \frac{1}{9}$
CM $x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2} \geq \frac{1}{9}$
Bắt đầu bởi tpctnd, 02-01-2016 - 17:21
#2
Đã gửi 02-01-2016 - 18:33
meomunsociu
-
- Thành viên
-
- 166 Bài viết
Trung sĩ
Cho các số thực $x,y$ sao cho $x^{2}+y^{2}-xy=1$
CM $x^{4}+y^{4}-x^{2}y^{2} \geq \frac{1}{9}$
Ta có: $A=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3(xy)^2=(1+t)^2-3t^2=-2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}$
(t=xy)
Từ gt có: + $x^2+y^2-xy\geq 2xy-xy=xy \Rightarrow xy\leq 1 \Rightarrow t\leq 1$
+ $x^2+y^2-xy\geq -2xy-xy=-3xy\Rightarrow xy\geq \frac{-1}{3}\Rightarrow t\geq \frac{-1}{3}$
=> $\frac{-1}{3}\leq x\leq 1 \Rightarrow \frac{-5}{6}\leq x-\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow 0\leq (t-\frac{1}{2})^2\leq \frac{25}{36}$
$\Rightarrow A\geq -2.\frac{25}{36}+\frac{3}{2}=\frac{1}{9}$ (ĐPCM)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
