Chủ đề này có 5 trả lời

[ngoctam79]

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n+1}$

[An Infinitesimal]

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n+1}$

 

Hiển nhiên với $x\in \{0, 1\}$, chuỗi hội tụ.

 

Xét chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}$

Đặt $u_n= \left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}, \forall n \in \mathbb{N}.$

$\sqrt[n]{|u_n|}= \frac{n}{2n+1}(x-1)^2 \to \frac{(x-1)^2}{2}.$

 

TH1: $(x-1)^{2}<2$ chuỗi hội tụ.

 

TH2: $(x-1)^{2}>2$ chuỗi phân kỳ.

 

TH3: $(x-1)^{2}=2$

$\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}= \left ( \frac{2n}{2n+1} \right )^{n} =\left[\left(1-1/(2n+1)\right) ^{2n+1}\right]^{n/(2n+1)} \to e^{-1/2}\neq 0.$

Do đó chuỗi phân kỳ.

 

 

Miền hội tụ là $(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 03-01-2016 - 00:56

[ngoctam79]

 

Hiển nhiên với $x\in \{0, 1\}$, chuỗi hội tụ.

 

Xét chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}$

Đặt $u_n= \left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}, \forall n \in \mathbb{N}.$

$\sqrt[n]{|u_n|}= \frac{n}{2n+1}(x-1)^2 \to \frac{(x-1)^2}{2}.$

 

TH1: $(x-1)^{2}<2$ chuỗi hội tụ.

 

TH2: $(x-1)^{2}>2$ chuỗi phân kỳ.

 

TH3: $(x-1)^{2}=2$

$\left ( \frac{n}{2n+1} \right )^{n}(x-1)^{2n}= \left ( \frac{2n}{2n+1} \right )^{n} =\left[\left(1-1/(2n+1)\right) ^{2n+1}\right]^{n/(2n+1)} \to e^{-1/2}\neq 0.$

Do đó chuỗi phân kỳ.

 

 

Miền hội tụ là $(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2})$.

 

số mũ là 2n+1 cũng làm như mũ 2n hả bạn

[An Infinitesimal]

số mũ là 2n+1 cũng làm như mũ 2n hả bạn

Mình tách con "x" ra khỏi chuỗi, nghĩa là hai chuỗi trên cùng đặc tính hội tụ với $x\neq 0$.

Lý do mà mình viết câu sau

 

 

Hiển nhiên với $x\in \{0, 1\}$, chuỗi hội tụ.

 

 

 

Thực sự chỉ cần ghi Hiển nhiên với $x=0$, chuỗi hội tụ.

[An Infinitesimal]

Mình tách con "x" ra khỏi chuỗi, nghĩa là hai chuỗi trên cùng đặc tính hội tụ với $x\neq 0$.

Lý do mà mình viết câu sau

 

 

Thực sự chỉ cần ghi Hiển nhiên với $x=0$, chuỗi hội tụ.

Làm như vậy để tiện, khỏi xuất hiện số hạng $|x|^{1/n}.$

[ngoctam79]

Làm như vậy để tiện, khỏi xuất hiện số hạng $|x|^{1/n}.$

ok, thanks bạn