Đến nội dung

Hình ảnh

$5x-4xyz\leq 1$

* - - - - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
huya1k43pbc

huya1k43pbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Cho $x,y,z\geq 0,x^2+y^2+z^2=3;x=min (x,y,z)CMR: 5x-4xyz\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huya1k43pbc: 05-01-2016 - 10:28


#2
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Bài ns

 

Cho $x,y,z\geq 0,x^2+y^2+z^2=3;x=min (x,y,z)CMR: 5x-4xyz\leq 1$

Bài này chúng ta sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất:

Với $f(x) = ax + b , x \in [\alpha; \beta]$ thì $min \{ f(\alpha); f(\beta) \} \le f(x) \le max \{f(\alpha); f(\beta) \}$

Áp dụng vào bài này:

Từ giả thiết ta có $0 \le x \le 1$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 1$ suy ra đpcm.

(Lưu ý khi $x = 1$ sẽ suy ra được $y = z = 1$).


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#3
huya1k43pbc

huya1k43pbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Bài ns

 

Bài này chúng ta sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất:

Với $f(x) = ax + b , x \in [\alpha; \beta]$ thì $min \{ f(\alpha); f(\beta) \} \le f(x) \le max \{f(\alpha); f(\beta) \}$

Áp dụng vào bài này:

Từ giả thiết ta có $0 \le x \le 1$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 1$ suy ra đpcm.

(Lưu ý khi $x = 1$ sẽ suy ra được $y = z = 1$).

Cho hỏi thế y,z bạn cho làm cảnh à



#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Ta có: $(x^2-y^2)(x^2-z^2)\geqslant 0\Leftrightarrow y^2z^2\geqslant x^2(y^2+z^2-x^2)\Leftrightarrow yz\geqslant x\sqrt{3-2x^2}$

Do đó $5x-4xyz\leqslant 5x-4x^2\sqrt{3-2x^2}$. Do đó ta cần chứng minh: $5x-1\leqslant 4x^2\sqrt{3-2x^2}$

Bình phương thu gọn ra được: $(1-x)(32x^5+32x^4-16x^3-16x^2+9x-1)\geqslant 0$

Giờ chia để trị cho điểm nhạy cảm $\dfrac{1}{2}$ hoặc dùng thuật toán Cyclic


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Cho hỏi thế y,z bạn cho làm cảnh à

Hihi... hoàn toàn hợp lý nhé bạn. Mình giải hơi tắt nên khó hiểu tí. Suy nghĩ kỹ lại sẽ ra thôi  :D


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#6
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Cho hỏi thế y,z bạn cho làm cảnh à

Nếu hiểu rõ phương pháp trên, ta có thể đổi biến thành hàm số theo y, hoặc theo z, rồi lại có thể đánh giá theo 2 đầu bị chặn là 2 số hoặc 1 trong 2 đầu bị chặn là các ẩn còn lại Tính sơ sơ đã trên 5 cách giải cho bài toán này! Thú vị đấy!


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài ns

 

Bài này chúng ta sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất:

Với $f(x) = ax + b , x \in [\alpha; \beta]$ thì $min \{ f(\alpha); f(\beta) \} \le f(x) \le max \{f(\alpha); f(\beta) \}$

Áp dụng vào bài này:

Từ giả thiết ta có $0 \le x \le 1$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 1$ suy ra đpcm.

(Lưu ý khi $x = 1$ sẽ suy ra được $y = z = 1$).

 

Thấy ra bạn dùng đúng tính chất hàm bậc nhất nhưng lập luận có phần sai duy nhất là $f(1)=1$, đúng ra $f(1)=5-4yz$

Chắc bạn đọc tài liệu bất đẳng thức của anh gì đó tên Đăng Khoa, anh đó cũng lập luận sai tương tự bạn.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Thấy ra bạn dùng đúng tính chất hàm bậc nhất nhưng lập luận có phần sai duy nhất là $f(1)=1$, đúng ra $f(1)=5-4yz$
Chắc bạn đọc tài liệu bất đẳng thức của anh gì đó tên Đăng Khoa, anh đó cũng lập luận sai tương tự bạn.

Bài này mình làm tắt chỗ này thôi. Trước tiên f(1) = 5-4yz.
Sau đó, lý luận tính tiếp. Tại x = 1 thì y = z = 1 nghen bạn.
Nói chug bài này sử dụg tc hàm số bậc 1 là đúng. Có thể dùng cho biến y hoặc z cho dễ hiêu. Còn cách của bạn thì không thể dùng khi thi ĐH được đâu. Hoặc nếu muốn dùng thì phải trình bày rõ tiếp mới chấp nhận được.
Thân ái
P/s. Đây chỉ là bài đơn giản, không cần phải tham khảo ở đâu nhen bạn

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#9
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài này mình làm tắt chỗ này thôi. Trước tiên f(1) = 5-4yz.
Sau đó, lý luận tính tiếp. Tại x = 1 thì y = z = 1 nghen bạn.
Nói chug bài này sử dụg tc hàm số bậc 1 là đúng. Có thể dùng cho biến y hoặc z cho dễ hiêu. Còn cách của bạn thì không thể dùng khi thi ĐH được đâu. Hoặc nếu muốn dùng thì phải trình bày rõ tiếp mới chấp nhận được.
Thân ái
P/s. Đây chỉ là bài đơn giản, không cần phải tham khảo ở đâu nhen bạn

Tại sao lại cho được $x=1$ hả bạn, nực cười :v


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Tại sao lại cho được $x=1$ hả bạn, nực cười :v


Híc... bạn suy nghĩ tí đi. Đừng cứ tự cho mình là hay nghen bạn. Thích thì hãy đem bài này nhờ ad xử đi bạn.

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#11
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Híc... bạn suy nghĩ tí đi. Đừng cứ tự cho mình là hay nghen bạn. Thích thì hãy đem bài này nhờ ad xử đi bạn.

 

Mình không tự cho mình hay đâu nhá, cái này bạn sai rõ ràng. Mình hoàn toàn tự tin vào kiến thức và kinh nghiệm của mình và nếu sử cái này dễ thế thì VQBC chả phải cho ra cái lời giải như mình ghi ở trên được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 08-01-2016 - 18:53

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#12
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
 

Bài ns

 

Bài này chúng ta sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất:

Với $f(x) = ax + b , x \in [\alpha; \beta]$ thì $min \{ f(\alpha); f(\beta) \} \le f(x) \le max \{f(\alpha); f(\beta) \}$

Áp dụng vào bài này:

Từ giả thiết ta có $0 \le x \le 1$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 1$ suy ra đpcm.

(Lưu ý khi $x = 1$ sẽ suy ra được $y = z = 1$).

 

Từ giả thiết, ta có thể giả sử $z \ge y$. Khi đó $0 \le x \le y \le z$ và 

$3x^2 \le x^2 + y^2 + z^2 = 3 \le 3z^2$, suy ra $x \le 1 \le z \le \sqrt{3}$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 5 - 4yz$

Nếu $5 - 4yz \le 0$ thì ta được $f(x) \le 0 \le 1$ (đpcm).

Nếu $5 - 4yz > 0$ thì $f(x) \le f(1) = 5 - 4yz$.

Mặt khác, khi $x = 1$ ta sẽ có: $y \ge 1; z \ge 1$ (vì $x = min \{x; y; z\})$ và $y^2 + z^2 = 2$, tức là $y^2 \ge 1; z^2 \ge 1$ và $y^2 + z^2 =2$.

Từ đó suy ra $ y = z = 1$.

Khi đó $5 - 4yz = 5 - 4 = 1$.

Vậy $f(x) \le 1$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 08-01-2016 - 20:00

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#13
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

 

 
 

Từ giả thiết, ta có thể giả sử $z \ge y$. Khi đó $0 \le x \le y \le z$ và 

$3x^2 \le x^2 + y^2 + z^2 = 3 \le 3z^2$, suy ra $x \le 1 \le z \le \sqrt{3}$.

Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:

$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.

Mà $f(0) = 0; f(1) = 5 - 4yz$

Nếu $5 - 4yz \le 0$ thì ta được $f(x) \le 0 \le 1$ (đpcm).

Nếu $5 - 4yz > 0$ thì $f(x) \le f(1) = 5 - 4yz$.

Mặt khác, khi $x = 1$ ta sẽ có: $y \ge 1; z \ge 1$ (vì $x = min \{x; y; z\})$ và $y^2 + z^2 = 2$, tức là $y^2 \ge 1; z^2 \ge 1$ và $y^2 + z^2 =2$.

Từ đó suy ra $ y = z = 1$.

Khi đó $5 - 4yz = 5 - 4 = 1$.

Vậy $f(x) \le 1$. 

 

 

Sai cái khúc "$f(x)\leqslant f(1)$, mặc khác cho $x=1$ ta sẽ có ..." mà sao vẫn ráng lập luận nhỉ.

Chỉ suy ra được: $f(x)\leqslant 0$ hoặc $f(x)\leqslant 5-4yz$ và sẽ không có chuyện cho $x=1$ ở đây, nhìn sơ sơ điều này hoàn toàn không hợp lý rồi.

Giờ phải nói rằng chuyện này mình đã gặp phải, sai vài lần và đã có kinh nghiệm trong chuyện này, bạn ráng tiếp thu chứ đừng khăng khăng bạn đúng như thế.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-01-2016 - 17:11

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#14
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Sai cái khúc "$f(x)\leqslant f(1)$, mặc khác cho $x=1$ ta sẽ có ..." mà sao vẫn ráng lập luận nhỉ.
Chỉ suy ra được: $f(x)\leqslant 0$ hoặc $f(x)\leqslant 5x-4yz$ và sẽ không có chuyện cho $x=1$ ở đây, nhìn sơ sơ điều này hoàn toàn không hợp lý rồi.
Giờ phải nói rằng chuyện này mình đã gặp phải, sai vài lần và đã có kinh nghiệm trong chuyện này, bạn ráng tiếp thu chứ đừng khăng khăng bạn đúng như thế.

Ok. Mình sẽ xem xét lại vấn đề này. Thanks bạn!

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#15
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Mình không tự cho mình hay đâu nhá, cái này bạn sai rõ ràng. Mình hoàn toàn tự tin vào kiến thức và kinh nghiệm của mình và nếu sử cái này dễ thế thì VQBC chả phải cho ra cái lời giải như mình ghi ở trên được.

1 lời giải hoàn chỉnh khác bằng phương pháp dồn biến (dồn biến trên toàn miền)

(nếu kết hợp đạo hàm đánh giá thì ngắn gọn hơn nhiều, nhưng ở đây mình muốn chỉ cần sử dụng kiến thức lớp 10 cũng ra (chứ không cần phải nhờ vả đến thuật toán cyclic cho xa xôi...) nên tính toán dài 1 tí): Nói vắn tắt:

Ta sẽ nâng lên, biến thành bài toán đi tìm $max$ của vế trái $f(x,y,z) = 5x - 4xyz$.

Trước tiên, giả sử $x \le y \le z$ thì sẽ có $f(x, y, z) \le f(x, y, y)$. Từ đó quy về thành bài toán tìm $max$ của 

$P(x, y) = 5x - 4xy^2$, với $x^2 + 2y^2 = 3$ và $0 \le x \le 1 \le y \le \sqrt{\frac{3}{2}}$

Mà $P^2 = 1 - 2(y-1)( 16y(y - \sqrt{\frac{3}{2}})^2 + 8(2\sqrt{6} - 3)(y - \frac{47(3 - 2\sqrt{6})}{120})^2  + \frac{11133 - 4418\sqrt{6}}{480})  \le 1$

Nên $P \le 1$, từ đó suy ra $maxP = 1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 13-01-2016 - 00:44

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#16
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

1 lời giải hoàn chỉnh khác bằng phương pháp dồn biến (dồn biến trên toàn miền)

(nếu kết hợp đạo hàm đánh giá thì ngắn gọn hơn nhiều, nhưng ở đây mình muốn chỉ cần sử dụng kiến thức lớp 10 cũng ra (chứ không cần phải nhờ vả đến thuật toán cyclic cho xa xôi...) nên tính toán dài 1 tí): Nói vắn tắt:

Ta sẽ nâng lên, biến thành bài toán đi tìm $max$ của vế trái $f(x,y,z) = 5x - 4xyz$.

Trước tiên, giả sử $x \le y \le z$ thì sẽ có $f(x, y, z) \le f(x, y, y)$. Từ đó quy về thành bài toán tìm $max$ của 

$P(x, y) = 5x - 4xy^2$, với $x^2 + 2y^2 = 3$ và $0 \le x \le 1 \le y \le \sqrt{\frac{3}{2}}$

Mà $P^2 = 1 - 2(y-1)( 16y(y - \sqrt{\frac{3}{2}})^2 + 8(2\sqrt{6} - 3)(y - \frac{47(3 - 2\sqrt{6})}{120})^2  + \frac{11133 - 4418\sqrt{6}}{480})  \le 1$

Nên $P \le 1$, từ đó suy ra $maxP = 1$.

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$

Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.

P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 13-01-2016 - 17:04

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#17
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen.
Dồn biến trên toàn miền không nhất thiết phải thuần nhất đâu bạn ui. Nói vậy người ta cười. Nối đơn giản là mình phân hoạch miền xác định rồi giới hạn lại vùng có cực trị. Ở đây dồn biến thì luôn có dồn biến điều kiện rùi. Mình nói thêm dồn biến toàn miền cho bạn hiểu mà bạn vẫn k biết. Muốn biết rõ hơn có thể xem trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim hùng. Ở trên là vắn tắt thui. Bạn có thể ghi chi tiết sẽ thấy tòan bộ. Thân ái!

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#18
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Bạn còn trẻ, hãy chịu khó đọc thêm nhiều tài liệu nữa, và cố gắng tạo ra cái riêng cho mình, tương lai rất triển vọng!

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#19
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Cái dồn biến thuần nhất của bạn chỉ là 1 trường hợp riêng và đẹp, nó giống như 1 phép tịnh tiến cho bộ (x, y, z) thôi. Dồn biến toàn miền tổng quát người ta có thể tách riêng từng biến với các số gia khác nhau (như x+ a, y + b, z + c) nó mới là tổng quát. Chẳng qua bạn chưa bao giờ gặp thôi. Hãy xem như đây là bài học mới. Chúc bạn sẽ ngày càng tiến bộ!

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#20
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Cái dồn biến thuần nhất của bạn chỉ là 1 trường hợp riêng và đẹp, nó giống như 1 phép tịnh tiến cho bộ (x, y, z) thôi. Dồn biến toàn miền tổng quát người ta có thể tách riêng từng biến với các số gia khác nhau (như x+ a, y + b, z + c) nó mới là tổng quát. Chẳng qua bạn chưa bao giờ gặp thôi. Hãy xem như đây là bài học mới. Chúc bạn sẽ ngày càng tiến bộ!

 

Bạn còn trẻ, hãy chịu khó đọc thêm nhiều tài liệu nữa, và cố gắng tạo ra cái riêng cho mình, tương lai rất triển vọng!

 

Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen.
Dồn biến trên toàn miền không nhất thiết phải thuần nhất đâu bạn ui. Nói vậy người ta cười. Nối đơn giản là mình phân hoạch miền xác định rồi giới hạn lại vùng có cực trị. Ở đây dồn biến thì luôn có dồn biến điều kiện rùi. Mình nói thêm dồn biến toàn miền cho bạn hiểu mà bạn vẫn k biết. Muốn biết rõ hơn có thể xem trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim hùng. Ở trên là vắn tắt thui. Bạn có thể ghi chi tiết sẽ thấy tòan bộ. Thân ái!

 

Giờ bạn bắt mình phải nói nặng lời.

Thứ nhất, người xem lại kiến thức mới chính là bạn. Dồn biến toàn miền hoàn toàn cần bất đẳng thức thuần nhất. Nếu không tin bạn có thể xem lại một bài viết của thầy Phạm Kim Hùng cực kỳ chi tiết về dồn biến toàn miền trên diễn đàn mình có tựa đề là E.M.V - The Last Method hoặc trên AoPS thấy cũng có một bài viết. Mình đã tìm hiểu thật sự kỹ mọi ngóc ngách kỹ thuật phương pháp này và có một thời gian cuồng nó nên thật sự bị xúc phạm khi thấy câu "Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen."

Kỹ thuật dồn biến mà nói như bạn, xét riêng số gia như (x+a, y+b, z+c) gì đó, khác nào khảo sát hàm nhiều biến và cũng chính là khảo sát hàm nhiều biến chứ chả có dồn biến gì cả. Và nếu có riêng các $a,b,c$ khác nhau để thêm vào thì lấy cái gì để đảm bảo tính đối xứng, điều kiện đầu bài,...

Mong bạn coi lại toàn bộ kiến thức lại, chứ đừng biết nửa vời mà thể hiện ở đây.

Ở đây mình đảm bảo một câu rằng, bạn nói từ trước đến giờ về dồn biến hoàn toàn sai lệch mới chuẩn kiển thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 13-01-2016 - 19:16

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh