Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 07-01-2016 - 23:48

Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1621 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-11-2018 - 19:46

Lời giải: Với $k=1$ bài toán hiển nhiên đúng, chúng ta giả sử $k\ge 2$. Ký hiệu $m$ là số nhỏ nhất thuộc $A$. Dễ thấy rằng: $m\le n$ và tồn tại đúng $n-m$ số thuộc $A$ mà chúng lớn hơn $m$ nhưng không vượt quá $kn$.

Để chứng minh bài toán chúng ta tìm hai số $x$ và $y$ thuộc $A$ sao cho $x=y+(k-1)m$; nghĩa là biểu diễn một số nào đó thuộc $A$ thành tổng $k$ số hạng thuộc $A$ trong đó có $k-1$ số hạng bằng $m$. Chỉ cần tìm số $x$ thuộc $A$ mà $x>(k-1)m$ và $x-(k-1)m$ thuộc $A$.

Thật vậy, trong khoảng $\Delta=((k-1)m,kn]$ có $kn-(k-1)m=k(n-m)+m$ số nguyên. Vì $k\ge 2$ nên $(k-1)m\ge m$, theo nhận xét ban đầu suy ra có nhiều nhất $n-m$ số trong $\Delta$ không thuộc $A$. Điều này nghĩa là $A$ chứa ít nhất $s=k(n-m)+m-(n-m)=(k-1)(n-m)+m$ số. Nhưng $s\ge n$, vì $(k-2)(n-m)\ge 0$. Gọi $a_1,a_2,...,a_s$ thuộc A, với $(k-1)m<a_i\le kn,i=1,2,...,s$. Khi đó những hiệu $a_1-(k-1)m,a_2-(k-1)m,...,a_s-(k-1)m$ là những số nguyên khác nhau trong khoảng $[1,kn]$. Nếu một số nào đó trong chúng không thuộc $A$, thì theo nguyên lý Đirichlet chúng ta nhận được $s\le n-1$, vì ngoài $A$ có đúng $n-1$ số trong khoảng này, Như vậy trái với bất đẳng thức đã chứng minh $s\ge n$. Suy ra tồn tại một hiệu $a_i-(k-1)m$ thuộc $A$.

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh