Đến nội dung


Hình ảnh

$\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 namvk

namvk

    Tay Trái Vàng

  • Thành viên
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Mặt Trời

Đã gửi 13-05-2006 - 11:00

Từ một điểm $P$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $PE,PF$ tới đường tròn ($E,F$ là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua $P$, cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$ ($A$ nằm giữa $P$ và $B$) và cắt $EF$ tại $Q$.
a) Khi cát tuyến đi qua $O$, Chứng minh : $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB} \textbf{ (1)}$

b) Đẳng thức $(1)$ có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm $O$?
Hãy chứng minh điều đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-03-2013 - 00:19

Tất cả là phù du.

#2 ilovemath97

ilovemath97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thừa Thiên Huế

Đã gửi 03-03-2013 - 17:47

a) Khi cát tuyến qua O.

Ta có: $PE^{2}=PQ.PO=PA.PB$, lại do $O$ trung điểm $AB$, suy ra

$(PQAB)=-1$ nên có $\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

b) Khi cát tuyến ko qua O, giả sử cát tuyến này cắt $(O)$ tại $A', B'$, cắt $EF$ tại $Q'$, vẽ $OK$ vuông góc $PB'$

Ta có lần lượt các hệ thức: $PE^{2}=PQ.PO==PQ'.PK$, $PE^{2}$ cũng bằng $PA'.PB'$, để ý $K$ trung điểm $A'B'$, nên $(PQ'A'B')=-1$

Từ đó $\frac{PA'}{PB'}=\frac{Q'A'}{Q'B'}$
Nên cát tuyến ko qua tâm thì bài toán vẫn đúng

Hình gửi kèm

  • 123.JPG

VMO 2014 đánh dấu chuỗi ngày buồn vì thất bại. Không sao cả! VMO 2015 đợi mình nhé


#3 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 03-03-2013 - 19:29

a) Khi cát tuyến qua O.

Ta có: $PE^{2}=PQ.PO=PA.PB$, lại do $O$ trung điểm $AB$, suy ra

$(PQAB)=-1$ nên có $\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$.

b) Khi cát tuyến ko qua O, giả sử cát tuyến này cắt $(O)$ tại $A', B'$, cắt $EF$ tại $Q'$, vẽ $OK$ vuông góc $PB'$

Ta có lần lượt các hệ thức: $PE^{2}=PQ.PO==PQ'.PK$, $PE^{2}$ cũng bằng $PA'.PB'$, để ý $K$ trung điểm $A'B'$, nên $(PQ'A'B')=-1$

Từ đó $\frac{PA'}{PB'}=\frac{Q'A'}{Q'B'}$
Nên cát tuyến ko qua tâm thì bài toán vẫn đúng

Anh có thể đưa về lời giải = kiến thức THCS không ạ ? Và giải thích giúp em đoạn $(PQAB)=-1$

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 03-03-2013 - 22:40

Đây là cách THCS khá đơn giản.
Gọi bán kính (O) là R
Ta có: $\frac{PA}{PB}=\frac{PO-R}{PO+R}$
$\frac{QA}{QB}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Ta cần CM:$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$$\Leftrightarrow \frac{OP-R}{OP+R}=\frac{R-OQ}{R+OQ}$
Dùng phép biến đổi tương đương ta được điều cần chứng minh là:
OP.OQ=R2(điều này đúng)
$\Rightarrow$$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

#5 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 03-03-2013 - 23:26

Cho mình mượn tạm hình
Biến đổi tương tự câu a thì điều phải chứng minh là:KB'2=KQ'.KP
Vì $\Delta PQQ'\sim \Delta PKO$
$\Rightarrow$PQ.PO=PQ'.PK
Mà PQ.PO=PE2 $\Rightarrow$ PE2=PQ'.PK
Ta có: KQ'.KP=PK2-PQ'.PK=PK2-PE2=PK2-PO2+R2=R2-OK2=KB'2(đpcm)
Vậy với PAB là cát tuyến bất kì thì$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}$

#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 22:40

Chấm bài: 

nhatquangsin 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh